4.2 一个正态总体的假设检验
假设总体X～N（μ，σ2），关于总体参数μ和σ2的假设检验，主要有以下六种类型。
（1）已知方差σ2，检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0（μ0为已知）。
设（X1，X2，…，Xn）是一个样本，由统计量分布理论知，在H0成立的条件下
N（0，1）。由检验水平α，查标准正态分布表，得临界值
，使
，即事件
是一个小概率事件。
由样本值计算
·若
，则否定H0；
·若
，则不能否定H0；
·若
，通常再进行一次抽样检验。
由于这一检验用到统计量U，因此称为U检验法。其一般步骤如下。
①提出待检验假设和备择假设：
H0:μ=μ0 H1:μ≠μ0
②选用统计量
，在H0成立的条件下
U～N(0,1)
③由给定的检验水平α，查标准正态分布表，得临界值
，使
确定否定域为
④根据样本观察值计算
，并与
比较。
⑤结论：
·若
，则否定H0；
·若
，则不能否定H0；
·若
，一般再进行一次抽样检验。
例4.2.1 自动包糖机装糖入袋，每袋糖重X服从正态分布。当机器工作正常时，其均值为0.5 kg，标准差为0.015 kg。某日开工后，若已知标准差不变，随机抽取9袋，其重量（单位：kg）为
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512
问包糖机工作是否正常（α=0.05）？
解 H0：μ=μ0=0.5 H1：μ≠0.5
在H0成立的条件下，
由α=0.05，查标准正态分布表，得
=1.96，即
由样本值计算
于是否定H0，即认为这天包糖机工作不正常。
基于R的求解方法之一如下：
（2）未知方差σ2，检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0。
设（X1，X2，…，Xn）是一个样本，由统计量分布理论知，在H0成立的条件下，
由给定的检验水平α，查t分布表，得临界值
（n-1），使
即{|T|＞
（n-1）}是一个小概率事件。
由样本值计算
，
·若
，则否定H0；
·若
，则不能否定H0。
称此检验法为T检验法，其一般步骤如下。
①提出待检验假设和备择假设：
H0:μ=μ0 H1:μ≠μ0
②选用统计量
，在H0成立的条件下
③由给定的检验水平α，查t分布表，得临界值
（n-1），使
确定否定域为
④根据样本观察值计算
，并与
（n-1）比较。
⑤结论：
·若
，则否定H0；
·若
，则不能否定H0；
例4.2.2 某厂生产钢筋，其标准强度为52 kg/mm2，今抽取6个样品，测得其强度数据（单位：kg/mm2）如下：
44.5 49.0 53.5 49.5 56.0 52.5
已知钢筋强度X服从正态分布，判断这批产品的强度是否合格（α=0.05）？
解 H0：μ=μ0=52 H1：μ≠52
在H0成立的条件下，
由α=0.05，查t分布表，得临界值
，即
由样本值计算
所以不能否定H0，即认为产品的强度与标准强度无显著性差异，就现在样本提供的信息来看，产品是合格的。
基于R的求解方法之一如下：
（3）未知均值μ，检验H0：σ2=σ20，H1：σ2≠σ20。
设（X1，X2，…，Xn）是一个样本，由统计量分布理论知，在H0成立的条件下，
由检验水平α，查χ2分布表，得临界值
和
，使
即事件
是小概率事件。
由样本值计算χ20，并与
和
比较：
·若
或
，则否定H0；(https://www.daowen.com)
·若
，则不能否定H0。
称此检验法为χ2检验，其一般步骤如下。
①提出待检假设和备择假设
②选用统计量
，在H0成立的条件下，
χ2～χ2(n-1)
③由给定的检验水平α，查χ2分布表，得临界值
和
，使
即
是小概率事件，确定否定域为
④由样本值计算χ20，并与
和
比较。
⑤结论：
·若
或
，则否定H0；
·若
，则不能否定H0。
例4.2.3 某炼铁厂的铁水含碳量X服从正态分布。现对操作工艺进行了某种改进，从中抽取5炉铁水，测得含碳量数据如下：
4.421 4.052 4.353 4.287 4.683
是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082（α=0.05）？
解 H0：σ2=σ20=0.1082 H1：σ2≠0.1082
在H0成立的条件下，
由给定的检验水平α，查χ2分布表，得临界值
（4）=11.1和
（4）=0.484。根据样本观察值计算
所以否定H0，即不能认为方差是0.1082。
基于R的求解方法之一如下：
从p值看，小于0.05拒绝原假设，即否定H0，不能认为方差是0.1082。
以上三种类型，否定域均为双侧区间，这种参数假设检验称为双侧检验，这时，常省略备择假设H1。下面三种类型，其否定域均为单侧区间，这种参数的假设检验称为单侧检验。
（4）已知方差σ2，检验H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0。
设（X1，X2，…，Xn）是一个样本，在H0成立的条件下，
于是，对于任何实数λ，都有
由检验水平α，查标准正态分布表，得临界值uα，使P{U＞uα}=α，即
都是小概率事件。
这时，H0的否定域为（uα，+∞），由样本观察值计算U1，0，若U1，0落入否定域，即可作出否定H0的结论。由此我们得到单侧检验的步骤完全类似双侧检验，只要注意它的否定域仅为单侧区间即可。显然，单侧检验比双侧检验灵敏，这是有代价的，即事先对待检验的参数有较多的了解。
例4.2.4 已知某种水果罐头VC（维生素C）的含量服从正态分布。标准差为3.98 mg。产品质量标准中，VC的平均含量必须大于21 mg。现从一批这种水果罐头中抽取17罐，测得VC含量平均值
=23 mg。问这批罐头的VC含量是否合格（α=0.05）？
解 因为本题要求VC的平均含量必须大于21 mg，少了判为不合格品，所以用单侧检验。
H0:μ≤μ0=21 H1:μ＞21
在H0成立的条件下，
由检验水平α，查标准正态分布表，得临界值uα=1.38，确定否定域为（uα，+∞）。
由样本观察值计算
所以，否定H0，即认为这批罐头的VC含量符合标准。
类似地，可以得到如下两类单侧检验的否定域。
（5）未知方差σ2，检验H0：μ≤μ0，H1：μ＞μ0。
否定域为（tα（n-1），+∞）。
（6）未知均值μ，检验H0：σ2≤σ20，H1：σ2＞σ20。
否定域为（χ2
α(n-1),+∞)。
例4.2.5 机器包装食盐，假设每袋盐重服从正态分布，规定每袋盐标准重量为500 g，标准差不能超过10 g。某日开工后，从装好的食盐中随机抽取9袋，测得重量（单位：g）为
497 507 510 475 484 488 524 491 515
问这天包装机的工作是否正常（α=0.05）？
解 包装机工作正常指μ=500 g和σ2≤102，因此分两步进行检验。
①H0:μ=μ0=500,H1:μ≠500。
在H0成立的条件下，
由检验水平α，查t分布表，得临界值
（8）=2.306。
由样本值计算得
所以，不能否定H0，即可以认为平均每袋盐重为500 g。
②H'0:σ2≤102,H'1:σ2＞102。
在H'0成立的条件下，
由检验水平α，查χ2分布表，得临界值χ2
α(8)=15.507。
由样本值计算得
所以，否定H'0，即可以认为方差超过102，包装机工作不稳定。
由①、②可以认为，包装机工作不正常。
基于R的求解方法如下：
从p值看，不能拒绝原假设。
从p值看，拒绝原假设，不认为方差小于102。
