*1.5.4　虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质

*1.5.4　虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质

复函数f（x，y）的傅里叶变换可以改写成

令

f(x,y)=fR(x,y)+ifI(x,y)

式中，fR（x，y）和fI（x，y）分别为f（x，y）的实部和虚部，则式（1.5.10）变为

式中，FR（fx，fy）和FI（fx，fy）分别代表复函数F（fx，fy）的实部和虚部。

下面讨论几种特殊情况。

（1）f（x，y）是实函数，即f（x，y）=fR（x，y），fI（x，y）=0。式（1.5.11）化为

而

(https://www.daowen.com)

显然有

FR(fx,fy)=FR(-fx,-fy)

FI(fx,fy)=-FI(-fx,-fy)

即F（fx，fy）的实部为偶函数，虚部为奇函数。

（2）f（x，y）是实值偶函数。这时式（1.5.13）中FI（fx，fy）=0，故

上式称为函数f（x，y）的余弦变换，记为Fc（fx，fy）。由于F（-fx，-fy）=F（fx，fy），故这时的F（fx，fy）也是实值偶函数，位相谱恒为0，只有振幅谱，并有

（3）f（x，y）是实值奇函数。这时式（1.5.13）中FR（fx，fy）=0，故

上式称为函数f（x，y）的正弦变换，记作Fs（fx，fy）。

由于F（fx，fy）=-F（-fx，-fy），故这时的F（fx，fy）是虚值奇函数，并有

由上述讨论可见，傅里叶变换并不改变函数的奇偶性。