1.5.3　广义傅里叶变换

1.5.3　广义傅里叶变换

假定有一个函数序列gN（x，y），其中的每一个函数都存在傅里叶变换，对应的频谱函数为GN（fx，fy）。函数g（x，y）虽然不存在傅里叶变换，但g（x，y）却是gN（x，y）在N→∞时的极限，则定义N→∞时GN（fx，fy）的极限为g（x，y）的广义傅里叶变换（Generalized Fourier Transform）。由此可见，广义傅里叶变换就是极限意义下的普通傅里叶变换。因此，可采用同样的算符F{·}和F-1{·}表示广义傅里叶变换。

广义傅里叶变换可以按照普通傅里叶变换相同的规则进行演算，二者之间的差别一般可以不计。为了说明广义傅里叶变换的计算，下面列举两个例子。为简洁起见，这里只讨论一维情况，二维情况按可分离变量函数的变换求解。

【例1】求符号函数sgn（x）的傅里叶变换。

【解】计算过程可分为3个步骤。

（1）选择适当的函数序列。例如，取

由式（1.1.7），显然有

（2）求F{gN（x）}。

（3）求。

由式（1.5.7）取极限得

上式就是符号函数的广义傅里叶变换。

【例2】求δ（x）的傅里叶变换。(https://www.daowen.com)

【解】（1）选择适当的函数序列。

例如，从表1.2.1中选取

显然有

（2）求F{fN（x）}。

令，并利用积分公式^[2]，得

容易算得

（3）求。

由上式取极限最后得