水利投资效益分解的博弈论模型
水利投资面临的一个最基本的抉择是选择投还是不投，以及在抉择的过程中如何考虑各种效益分配的均衡。在此以博弈论分析、建立这种抉择机制。博弈论的基本概念包括参与人、行动、信息、战略、支付（效用）、结果和均衡。
（1）参与人（Players）：指的是一个博弈中决策主体，他的目的是通过选择行动（或战略）以最大化自己支付（效用）水平。参与人可能是自然人，也可能是团体，如企业、国家。这里，重要的是，每个参与人必须有可供选择的行动和一个很好定义的偏好函数。那些不作决策的被动主体只当作环境参数来处理。在水利投资博弈中，代表中央政府行使职能的水利部门和投资项目所在地的地方政府要作出“投资”或“不投资”的决策，目的是最大化自己的收益，而水利投资项目所产生的效益的需求者则被当作环境变量放在“市场需求”中。
在博弈论中，“自然”作为“虚拟参与人”来处理。这里，“自然”是指决定外生的随机变量的概率分布的机制。在水利投资效益分解的博弈中，对项目所带来的效益的市场需求（包括社会需求）是一个随机变量，可以假定，在博弈的开始，“自然”以一定的概率决定需求是大还是小。
（2）行动（Actions or Moves）：指的是参与人在博弈的某个时点的决策变量。一般地，用ai表示第i个参与人的特定行动，Ai={ai}表示可供i选择的所有行动的集合。参与人的行动可能是离散的，也可能是连续的。在水利投资博弈中，每个参与人都只有两种行动可供选择（即是离散的），Ai={投资，不投资}，i={中央政府，地方政府}。
在n人博弈中，n个参与人的行动的有序集a=（a1，a2，…，an）称为“行动组合”，其中的第i个元素ai是第i个参与人的行动。在水利投资博弈中，中央政府和地方政府共有四个行动组合，即（投资、投资），（投资、不投资），（不投资、投资），（不投资、不投资）。与行动相关的一个重要问题是行动的顺序。在水利投资博弈中，一个可能的顺序是：自然首先选择需求（大或小），然后中央政府和地方政府同时选择投资还是不投资。
（3）信息（Information）：指的是参与人有关博弈的知识，特别是有关“自然”的选择、其他参与人的特征和行动的知识。一个参与人无法准确知道的变量的全体属于一个信息集。在水利投资博弈中，如果地方政府不知道市场需求是大是小，而中央政府知道，那么地方政府的信息集为{大，小}，中央政府的信息集为{大}或{小}。
在博弈论中，“完美信息”和“完全信息”是两个有联系但又不完全相同的概念。完美信息（Perfect Information）是指一个参与人对其他参与人（包括虚拟参与人“自然”）的行动选择有准确了解的情况，即每一个信息集只包含一个值。完全信息（Complete Information）是指自然不首先行动或自然的初始行动被所有参与人准确观察到的情况，即没有事前的不确定性。显然，不完全信息意味着不完美信息（自然的选择不可观察），但逆定理不成立。在水利投资博弈中，如果至少有一个参与人不知道市场需求的大小，信息是不完全（Incomplete）的也是不完美（Imperfect）的；如果两个参与人都知道市场需求是大还是小，信息是完全的，但如果中央政府不知道地方政府选择了什么行动，则中央政府的信息是不完美的。
（4）战略（Strategies）：指的是参与人在给定信息集的情况下的行动规则，它规定参与人在什么时候选择什么行动。因为信息集包含了一个参与人有关其他参与人之前行动的知识，战略告诉该参与人如何对其他参与人的行动作出反应，因而战略是参与人的“相机行动方案”（Contingent Action Plan）。
一般地，用Si表示第i个参与人的一个特定战略，Si={si}代表第i个参与人的所有可选择的战略的集合。如果n个参与人每人选择一个战略，n维向量s=（s1，…，si，…，sn）称为一个战略组合（Strategy profile），其中si是第i个参与人选择的战略。
在水利投资博弈中，如果地方政府在不知市场需求的情况下先行动，中央政府在得知地方政府的行动后再选择自己的行动，那么，地方政府有两个战略，即s地=（投资，不投资），中央政府有四个战略，即s中={投资，投资}，{投资，不投资}，{不投资，投资}，{不投资，不投资}。这里，战略（x，y）内的第一个元素是对应地方政府选择“投资”时中央政府的行动，第二个元素是对应地方政府选择“不投资”时中央政府的行动，比如说，{投资，投资}意味着不论地方政府选择什么行动，中央政府选择投资；应该强调的是，战略与行动是两个不同的概念，战略是行动的规则而不是行动本身。在前例中，“投资”和“不投资”是两种行动，而战略要说明什么时候采取什么行动。
当然，在静态博弈中，战略和行动是相同的，这是因为，作为参与人行动的规则，战略依赖于参与人获得的信息，在静态博弈中，所有参与人同时行动，没有任何人能获得他人行动的信息，从而，战略选择就变成简单的行动选择。在水利投资博弈中，给定市场需求，如果中央政府和地方政府同时行动，每人只有两种战略，即（投资，不投资）。
（5）支付（Payoff）：在博弈论中，支付或者是指在一个特定的战略组合下参与人得到的确定效用水平，或者是指参与人得到的期望效用水平。支付是博弈参与人真正关心的东西。假定每一个参与人的偏好都可以由一个v—N—M期望效用函数来代表，他的目标是选择自己的战略以最大化其期望效用函数。
令ui为第i个参与人的支付（效用水平），u=（u1，…，ui，…，un）为n个参与人的支付组合（Payoff Profile）。博弈的一个基本特征是一个参与人的支付不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有其他参与人的战略选择，就是说，ui是所有参与人的战略选择的函数：
在水利投资博弈中，参与人的收益水平即他们的支付。如果中央政府和地方政府同时行动，那么
u中（高需求，投资，投资）=u地（高需求，投资，投资）=H1
u中（低需求，投资，投资）=u地（低需求，投资，投资）=L1
u中（高需求，投资，不投资）=H2
u中（低需求，投资，不投资）=L2
因此假定中央政府认为高需求的概率是x，那么，给定地方政府选择投资，中央政府选择投资的期望效用为Eu中（投资，投资）=xH1+（1-x）L1，给定地方政府选择不投资，中央政府选择投资的期望效用为
（投资，不投资）=xH2+（1-x）L2（一般而言，H2≥H1≥L2≥L1）。
（6）结果（Outcome）：指的是博弈分析者所感兴趣的所有东西，如均衡战略组合，均衡行动组合，均衡支付组合等。在水利投资博弈中，一个可能的结果是：（高需求，投资，投资）；（u中，u地）=（H1，H1），即自然选择了高需求，中央政府和地方政府都选择了投资，中央政府和地方政府各得利润H1；另一个可能的结果是：（低需求，投资，不投资），（u中，u地）=（L2，0），即自然选择了低需求，中央政府选择了投资，地方政府选择了不投资，中央政府得L2利润，地方政府得0。(https://www.daowen.com)
（7）均衡（Equilibrium）：指的是所有参与人的最优战略的组合，—般记为
式中，
是第i个参与人在均衡情况下的最优战略，它是i的所有可能的战略中使ui或Eui最大化的战略。因为一般来说，ui是所有参与人的战略组合的函数，i的最优战略通常依赖于其他参与人的战略选择。为了把一个特定的参与人与其他参与人区别，将用
表示除i之外的所有参与人的战略组成的向量。那么，说
是给定s-i情况下第i个参与人的最优战略意味着
式中，
。均衡意味着，对所有的i=1，2，…，n，上式同时成立。
在博弈论里，有各种各样的均衡概念，上述定义是所有均衡概念的共同特征。可以看出，一个博弈可能有多个均衡存在。在水利投资博弈中，假定中央政府和地方政府同时选择行动，那么，如果需求大，（投资，投资）是唯一的一个均衡；如果需求小，（投资，不投资）是一个均衡，（不投资，投资）也是一个均衡。
（8）博弈的战略式表述。在博弈论里，一个博弈可以用两种不同的方式来表述：一种是战略式表述（Strategic form Representation）；另一种是扩展式表述（Extensive form Representation）。尽管从理论上讲，这两种表述形式几乎是完全等价的，但从分析的方便性的角度看，战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。由于我们将把水利投资博弈假设为一个静态博弈，所以在这里将主要讨论战略式表述。
战略式表述又称为标准式表述（Normal form Representation），在这种表述中，所有参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付。这里，参与人“同时选择”的是战略，而不是行动。因为战略是参与人行动的全面计划，战略式表述也可以用以描述动态博弈。
更为准确地讲，战略式表述应给出：
1）博弈的参与人集合：i∈Γ，Γ=（1，2，…，n）。
2）每个参与人的战略空间：si，i=1，2，…，n。
3）每个参与人的支付函数：ui（s1，…，si，…，sn），i=1，2，…，n。
用G={s1，…，sn；u1，…，un}代表战略式表述博弈。比如在两寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间，利润是支付；战略式表述博弈为
式中，qi和Qi是第i个企业的产量和利润。
水利投资效益分解的博弈，属于两人有限博弈，其战略式表述可以用矩阵表直观地给出。下表是水利投资博弈中中央政府和地方政府同时行动的战略式表述，其中1）是高需求情况，2）是低需求情况。
1）高需求情况：
2）低需求情况：
