二、模型求解
神经网络具有处理非线性问题的能力，而且可以通过对历史数据的学习训练，自行建立逼近f的函数关系，因而对上述问题提供了一条有效的解决途径。
为处理投资分配问题，应取具有n个输入和1个输出的神经网络，使用三层前馈神经网络，即只有一个隐层的网络。
显然，若将隐层神经元的输出函数都取为线性函数，或取消隐层，则神经网络退化为线性模型，用神经网络逼近f的问题则退化为多元线性回归问题，因而可以说神经网络模型实际上包含了多元线性回归模型。
选定神经网络模型后，则需对网络进行学习训练，训练之前，一般应将投资与收益的历史数据作些处理，以保证学习过程的收敛性和加快收敛速度，常采用归一化方法处理。根据历史数据的具体情况，选取具体的神经网络模型，即不同的数据对应不同的隐层数目。在训练过程结束之前，要求训练结果在一定的误差之内，即训练后网络的输出与历年实际收益的误差平方总和应小于等于某个数字。本次研究对表6- 4中的例子，采用隐层为10个神经元的模型，然后对网络进行训练，要求训练后网络的输出与历史实际收益的误差平方总和小于等于0.001。
训练结束后，即可用此网络解决前面提出的四个问题了。
问题①：将给定的投资分配方案x=（x1，x2，…，xn）T作为网络的输入，那么网络的输出y=yt便是所要预测的GDP。在具体运作过程中，应将输入数据作同样的数据处理，并对输出数据再作同样的逆处理。
将前面9年的数据即9对数据组输入网络模型，经过网络的训练，并将误差控制在0.001内，可得出实际期望值与输出值之间的关系，见表6- 5。
表6-5 误差情况表(https://www.daowen.com)
从表6- 5可以看出，到1999年为止，前9年的数据比较真实，所以计算出的误差情况比较小，因此该模型是可以用来预测2000年的有关数据的。因为2000年投资分配方案为x=（177.64，1.5，6.6，3，75.38）T，即政府、贷款、外资、自筹和其他资金对水利项目的投资分别是177.64亿、1.5亿、6.6亿、3亿元和75.38亿元，将该数据组输入网络，最后得到网络的输出即预测的GDP为y=84039.247亿元。由于2000年的有关数据发生了突变，所以最后预测的数据即GDP值与实际的GDP值之间产生了将近5400亿元的误差。至于2000年水利投资突然减少的原因除了数据存在失误之外，也可以理解为1998年大水之后在1998年和1999年中央加大了水利投资的力度，而在2000年则相对减少了对水利的投资，由此产生了数据的突变。但该模型依然可以用来分析投资结构的优化问题。
问题②：由于限定总投资
，故xi∈[0，M]，i=1，2，…，n。一般还可根据各类投资项目的具体情况限定其投资的最大和最小数额，即限定xi∈[Ai，Bi]⊆[0，M]，于是问题②便是求如下规划的最优解问题：
问题①的最优解即最优投资方案。但由于f未知，所以根本无法求解式（6- 1）。然而我们通过上述神经网络建立了f（x）的近似表达式N（x），于是用N（x）代替f（x），即用下面规划式（6- 2）的最优解作为式（6- 1）的近似最优解：
因神经网络中有许多的sigmoid函数，输入与输出的关系错综复杂，故要精确求解式（6- 2）的最优解也是非常困难的，因神经网络建立的关系N（x）本来就只是f（x）的一个近似。我们可以采用蒙特卡洛法或遗传算法来求式（6- 2）的近似最优解x*，从而得到近似的最优投资方案x*。
问题③和④可看作问题①和②的逆问题，可用同样类型的神经网络来解决，但应将收益作为网络的输入，投资作为网络的输出，规划式（6- 1）、式（6- 2）中的max改为min即可。据此可以进行投资分配方案的优化，也即进行水利投资结构的优化。