平面图形的几何性质

2026年01月15日

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第三节　平面图形的几何性质

【考点分析】

1.考试情况

2.重点分析：（1）面积矩的公式；

（2）形心坐标公式；

（3）惯性矩及平行移轴公式。

3.教学建议

考生在复习本专题内容时，重点关注面积矩公式、形心坐标公式、惯性矩及平行移轴公式。

【例题精讲】

一、判断题

1.若平面图形对平面内某一坐标轴的面积矩为零，则该轴必然通过图形的对称轴。（　）

【解析】　该题考查知识点是面积矩的定义以及形心轴和对称轴的区别。

①面积矩是指平面图形的面积A 与其形心到某一坐标轴的距离yc 的乘积。由定义可知，平面图形对过形心轴的面积矩等于零。

②图形的对称轴一定是图形的形心轴，但是图形的形心轴不一定是图形的对称轴。

综合分析可知，该轴一定是形心轴，不一定是对称轴。

【答案】　错误

二、计算题

1.确定题1图所示组合截面的形心坐标Zc，以及对形心轴yc的截面惯性矩Iyc。（图中单位为cm）

题1图

【解析】　本题主要考查形心坐标公式、惯性矩和平行移轴公式的应用。首先要求出y 轴距离形心轴的距离即Zc 的值，应用组合图形的形心坐标的计算公式可求出。再利用平行移轴公式求Iyc。

【答案】

解：（1）求形心坐标Zc

2.确定题2图所示组合截面的形心坐标yc，以及对形心轴Zc的截面惯性矩Izc。（图中单位为cm）

题2图

【解析】　本题主要考查形心坐标公式、惯性矩和平行移轴公式的应用。首先要求出y 轴距离形心轴的距离即yc 的值，应用组合图形的形心坐标的计算公式可求出。再利用平行移轴公式求Izc。

【答案】

解：（1）求形心坐标yc

课堂练习4－3

一、选择题

题2图

题3图

二、判断题

1.平面图形的对称轴一定通过图形的形心。　（　）

2.平面图形对某轴的面积矩等于零，则该轴必为此图形的对称轴。　（　）

3.有一定面积的平面图形对任一轴的惯性矩必不等于零。　（　）

4.平行移轴公式表示平面图形对于任何两根相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。（　）

5.在一组平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。　（　）

三、填空题

1.与平面图形的形状、尺寸有关的几何量都叫做___________。

2.平面图形的形心就是其　___________，当图形有两个或两个以上的对称轴时，其形心在___________，当只有一个对称轴时，形心在___________。

3.平面图形的面积与___________的乘积，叫做平面图形的面积矩，用___________表示，可为___________，可　为　___________，可　为　___________，单　位　有___________、___________、___________，平面图形___________面积矩为零。

4.组合图形的形心坐标公式为___________。

5._____________________叫做平面图形对该轴的惯性矩，用___________表示，单位有___________、_________、__________。(https://www.daowen.com)

6.立放的矩形截面为b×h 的梁，Zc轴过形心且与底边平行，则该矩图对Zc轴的惯性矩为___________，正方形的边长为a，Zc轴过形心且与底边平行，则该正方形对Zc轴的惯性矩为___________，圆形的直径为d，对形心轴Zc轴的惯性矩为___________。

7.平面图形对任一轴的惯性矩恒为___________，同一平面图形对不同位置的坐标轴的惯性矩　___________，其中以过　___________轴的惯性矩为最小。

8.平面图形对过任一平行移轴的惯性矩，等于___________。

9.如题9图所示截面中阴影部分对心轴Zc的面积矩为___________________。（图中尺寸单位为cm）

10.如题10图所示截面的形心坐标yca=150mm，则图（b）形心坐标ycb =___________mm。

11.如题11图所示截面中阴影部分对x 轴的面积矩为________。（图中尺寸单位为cm）。