梁的正应力及其强度条件
【考点分析】
1.考试情况
2.重点分析：（1）梁的正应力的计算；
（2）梁的抗弯截面系数；
（3）梁的正应力强度条件计算。
3.教学建议
考生在复习本专题内容时，重点关注：①梁的正应力分布规律及正应力的计算；②梁的抗弯截面系数；③梁的正应力强度条件计算（包括材料的抗拉压能力相同和材料的抗拉压能力不同两种情况的计算）；④提高梁的强度的措施。
【例题精讲】
一、选择题
1.某铸铁制作的简支梁，受竖直向上的均布荷载作用，下列截面形状最合理的是（ ）。
A.工字形 B.矩形 C.L形 D.T 形
【解析】 本题考查知识点是提高梁的措施之一。铸铁属于脆性材料，而脆性材料的抗拉能力远小于抗压能力，所以最好选用上、下不对称的截面，这时可排除A、B选项。同时还要使得中性轴靠近许用拉应力较小的一边，根据题意梁的上部受拉，L 形中性轴靠下，T 形中性轴靠上。综合分析，T 形是最合理的截面形状。
【答案】 D
二、填空题
【解析】 本题考查知识点是梁的放置方式不同，对梁的强度的影响。此题中梁的截面尺寸之比为b∶h=1∶3，梁立放时的抗弯截面系数是平放时的3倍，因而在弯矩相同时，梁平放时的正应力是立放时的3倍。
【答案】 1∶3；3∶1
【答案】 18
5.某矩形截面木梁，如题5图所示。已知材料的许用应力［σ］=10MPa，试校核该梁的正应力强度。
题5图
【解析】 本题考查知识点是梁的强度校核。梁的强度校核步骤是①计算支座反力②绘制弯矩图③根据最大弯矩计算最大正应力，并与许用应力比较。
§4．4．1 梁的正应力
课堂练习4－1－1
一、选择题
1.倒T形等直梁，两端受矩为M 的一对力偶作用，翼缘受拉。以下结论中，（ ）是错误的。
A.梁横截面的中性轴一定会通过截面的形心
B.梁的最大拉应力出现在截面的下边缘
C.梁的最大压应力与梁的最大拉应力数值不等
D.梁内最大压应力的值（绝对值）小于最大拉应力
2.梁发生平面弯曲时，其横截面绕（ ）转动。
A.梁的轴线 B.截面的对称轴 C.中性轴 D.截面形心
3.如题3图示梁中横截面上的最大正应力为（ ）。
A.9.38MPa B.5.62MPa C.3.75MPa D.11.26MPa
题3图
题4图
4.梁的截面为T 型，Z 轴通过截面形心，弯矩如题4图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A.最大拉应力与最大压应力位于同一截面C 或者D
B.最大拉应力位于截面C，最大压应力位于截面D
C.最大拉应力位于截面D，最大压应力位于截面C
D.无法确定最大拉压应力的截面
A.任意轴 B.形心轴 C.对称轴 D.中性轴
二、判断题
1.受弯构件横截面上的正应力是均匀分布的。 （ ）
2.距离截面中性轴的距离越大，则正应力值越大。 （ ）
3.梁横截面上任意一点的正应力，与该截面对中性轴的惯性矩成反比。 （ ）
4.在等截面梁中，正应力绝对值的最大值｜σ｜max必出现在弯矩值｜M｜max最大的截面上。（ ）
5.弯曲中心的位置只与截面的几何形状和尺寸有关，而与荷载无关。 （ ）
三、填空题
1.梁弯曲时横截面上有两种应力：___________和___________，其中___________是影响梁强度的主要因素。
2.梁产生平面弯曲变形后发生下列现象：各横向线仍为 ___________，只是倾斜了___________；各纵向线弯成___________，梁的下部纤维___________，上部纤维 __________。
3.弯曲直梁，横截面上的正应力沿截面高度呈___________分布。
4.矩形截面梁横截面上最大正应力发生在截面的 ___________处，最小正应力发生在___________上。
四、计算题
1.如题1图所示实心圆截面悬臂梁，横截面直径d=40mm，试求梁的最大弯曲正应力。
题1图
2.试计算如题2 图所示梁在最大弯矩截面上的最大正应力（图中截面的尺寸单位是mm）。
题2图
课后练习4－4－1
一、选择题
1.最大弯矩截面最大拉应力等于最大压应力的条件是（ ）。
A.梁材料的拉压强度相等 B.截面形状对称于中性轴
C.截面形状不对称于中心轴 D.同时满足A 和B
2.两根荷载、长度、支座相同的梁，横截面上最大正应力相等的条件是（ ）。
A.Mmax与截面积分别相等 B.Mmax与Wz 分别相等
C.Mmax与Wz 分别相等，且材料相同 D.两梁的许用应力相等
3.平面弯曲时，弯曲正应力在横截面上（ ）分布。
A.均匀 B.线性 C.假设均匀 D.抛物线
4.平面弯曲的正应力与杆件的（ ）有关。
A.外力 B.外力、截面形状、截面尺寸
C.外力、截面形状、截面尺寸、材料 D.外力、截面形状、截面尺寸、梁跨、材料
5.一般情况下，梁的强度由（ ）控制。
A.剪应力 B.正应力 C.平均应力 D.极限应力
二、判断题
1.中性轴是中性层与横截面的交线。 （ ）
2.两根不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么两根梁的最大正应力相同。 （ ）
3.纯弯曲梁段，横截面上仅有正应力。 （ ）
4.分析研究弯曲变形，要利用平面假设、纵向纤维无正应力假设。 （ ）
5.在均质材料的等截面梁中，最大拉应力和最大压应力必出现在弯矩值最大的截面上。（ ）
三、填空题
1.梁发生平面弯曲变形后可作如下的假定：梁的各横向线所代表的横截面，在变形前为___________，变形后仍为 ___________；纵向线的伸长与缩短，表明了梁内各点分别受到___________。梁内既不受拉又不受压的一层叫做 __________，它与横截面的交线叫做___________，该轴上各点的变形为___________，距中性轴最远的上下边缘变形___________，其余各点的变形___________的距离成正比。
2.在材料的弹性受力范围内，正应力与纵向应变成___________，横截面上正应力的分布规律与___________：上、下边缘的点应力___________，中性轴上为___________，其余各点的应力大小与___________成正比。
3.平面弯曲直梁各横截面的应力计算公式为：__________，正应力沿截面高度呈___________分布；应用此公式时，弯矩M与某点到中性轴的距离均以___________代入，应力的正负号由 __________判定：以___________为界，梁变形后的凸出边是 ___________应力取___________号，凹入边是___________应力取___________号。
四、计算题
1.试计算如题1 图所示梁在最大弯矩截面上的最大正应力（图中截面的尺寸单位是mm）。
题1图
2.试计算如题2图所示梁在最大弯矩截面上的最大正应力（图中截面的尺寸单位是mm）。
题2图
3.某矩形简支梁受均布荷载q 作用，如题3 图所示。已知q=3.5kN／m，梁的跨度，l=3m，b=120mm，h=180mm。试求：
（1）C 截面上a、b、c三点处的正应力；
（2）梁的最大正应力σmax值及其位置。
题3图
4.简支梁承受均布荷载，如题4图示，若分别采用截面面积相等的实心圆和空心圆截面，且D1=40mm，d2／D2=3／5，试分别计算它们的最大正应力。并问空心圆截面比实心圆截面的最大正应力减少了百分之几？
题4图
§4．4．2 梁的正应力强度条件
课堂练习4－4－2
一、选择题
1.应用弯曲正应力公式时，最大正应力应限制在（ ）以内。
A.比例极限σp B.弹性极限σe
C.屈服极限σs D.强度极限σb
2.T 字形截面铸铁梁承受正、负弯矩作用，以下危险截面的确定方法正确的是（ ）。
A.最大正弯矩截面 B.最大负弯矩截面
C.正、负弯矩中绝对值最大的截面 D.应视具体情况确定
3.不属于梁的弯曲正应力强度条件计算的三类问题的是（ ）。
A.只能确定梁的截面尺寸 B.只能校核梁的强度
C.只能设计梁的最大荷载 D.确定梁的最大挠度
A.最大弯矩所在的截面 B.梁的最大横截面
C.梁的最小横截面 D.梁的危险截面
5.一圆形截面梁，直径D=40mm，其抗弯截面系数Wz 为（ ）
A.1000πmm3 B.2000πmm3
C.400πmm2 D.400πmm3
二、判断题
1.抗弯截面系数不仅与截面尺寸有关，而且还与截面形状有关。 （ ）
2.材料的抗拉和抗压能力不同时，采用矩形截面形式较合理。 （ ）
3.控制梁弯曲截面强度的主要因素是最大弯矩值。 （ ）
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5.最大弯矩只可能发生在集中力作用处，因此只需要校核此截面强度是否满足梁的强度条件。 （ ）
三、填空题
1.弯曲变形的梁，___________________是危险截面，该截面上 ___________________是危险点。
2.抗弯截面系数是衡量 ___________的一个几何量，常用的单位有 ___________和___________。立放的矩形截面为b×h的梁的抗弯截面系数是___________，边长为a 的正方形梁的抗弯截面系数是___________，直径为d的圆形的抗弯截面系数是__________。
题4图
四、计算题
1.如题1图所示10号工字钢梁ABC，已知l=6.6m，材料的许用应力［σ］=215MPa，工字钢梁截面参数A=14.345cm2、Iz=245cm4、Wz=49cm3，试求结构可承受的最大外荷载P。
题1图
2.如题2图所示矩形截面悬臂梁，材料的容许应力［σ］=10MPa，若采用高宽比为h∶b=3∶2，试确定在荷载作用下此梁横截面的尺寸。
题2图
3.外伸梁受荷情况如题3 图所示，已知截面尺寸b×h 为200mm×500 mm，［σ］=24MPa。试校核该梁的正应力强度。
题3图
课后练习4－4－2
一、选择题
1.弯曲梁上的最大正应力发生在危险截面（ ）各点处。
A.中性轴上 B.离中性轴最远
C.靠近中性轴 D.离中性轴一半距离
2.等截面直梁，最大弯曲正应力发生在（ ）的截面处。
A.剪力最大 B.面积最大 C.面积最小 D.弯矩最大
3.已知外径为D，内径为d 的空心梁，其抗弯截面系数是（ ）。
4.T 形截面简支梁，受满跨均布荷载作用下，需要进行正应力强度校核的截面是（ ）。
A.简支梁两支座截面上、下边缘 B.跨中截面上边缘
C.跨中截面下边缘 D.跨中截面上、下边缘
5.材料的抗拉和抗压能力不同时，常采用的截面形状是（ ）。
A.矩形 B.圆环形 C.T 形 D.正方形
二、判断题
1.截面积相等，抗弯截面模量必相等，截面积不等，抗弯截面模量必不相等。 （ ）
2.大多数梁都只进行弯曲正应力强度核算，而不作弯曲剪应力核算，因为它们的横截面上只有正应力存在。 （ ）
3.梁的正应力强度校核，只校核梁横截面最大弯矩处。 （ ）
4.梁的平面弯曲中，正应力强度不足的截面一定是弯矩最大的截面。 （ ）
5.梁的平面弯曲强度方面的三类问题，实质上都要先确定最大弯矩所在的截面。 （ ）
三、填空题
1.塑性材料做成的梁的正应力强度条件是：__________，脆性材料做成的梁的正应力强度条件是：________________________________。根据强度条件可解决的有关强度方面的三类问题是：__________、___________、___________。
2.梁的三种截面形状和尺寸，如题2图所示，则其抗弯截面系数分别为 __________、___________和___________。
题2图
四、计算题
1.已知如题1图所示为某工字钢外伸梁，已知P=40kN，q=6kN／m，［σ］=180MPa，已选用I22b号工字钢，Wx=3.25×105mm3，试校核此梁是否安全。
题1图
2.如题2 图所示铸铁外伸梁，截面为槽形，已知y1=140mm，y2=60mm，Iz=4.0×107mm4，q=10kN／m，P=20kN，材料的许用拉应力［σ拉］=40MPa。许用压应力［σ压］=140MPa，试校核梁的正应力强度。
题2图
题3图
4.如题4图所示矩形截面伸臂梁，材料的许用应力［σ］=10MPa，已知b=200mm，若采用截面高宽比为h／b=3／2，试先绘制外伸梁内力图，然后确定梁能承受的最大荷载。
题4图
5.如题5图所示矩形截面木梁，许用应力［σ］=10MPa。图上尺寸为mm。
（1）试根据强度要求确定截面尺寸b。
（2）若在截面A 处钻一直径为d=60mm 的圆孔（不考虑应力集中），试问是否安全。
题5图
6.如题6图所示为一矩形截面钢梁，承受集中荷载P=10kN，均布荷载q=5kN／m，截面高h为宽b 的2倍，材料的许用应力［σ］=160MPa，试确定截面尺寸。
题6图
§4．4．3 梁正应力讨论及提高强度措施
课堂练习4－4－3
一、选择题
1.对于铸铁梁选择合理的截面形状是（ ）。
A.矩形 B.圆形 C.T 形或倒T 形 D.正方形
2.以下不是提高梁弯曲强度措施的是（ ）。
A.选择合理的截面形状 B.合理安排梁的受力情况，降低弯矩的最大值
C.选择抗弯刚度大的梁 D.采用变截面梁
3.梁截面形状经济合理的是（ ）。
A.IZ／A 比值大的截面 B.WZ／A 比值大的截面
C.IZ 大的截面 D.WZ 大的截面
4.梁的四种截面形状，如题4图所示，其截面面积相同。若从强度方面考虑，则截面形状最不合理的是（ ）。
题4图
5.一铸铁梁，截面最大弯矩为负值，其合理截面应为（ ）。
A.工字形 B.T 字形 C.倒T 形 D.L形
二、判断题
1.合理布置支座的位置可以减小梁内的最大弯矩，从而达到提高梁强度的目的。 （ ）
3.矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则其强度提高到原来的16倍。 （ ）
4.保持矩形截面梁的面积不变，增加梁的宽度可以提高梁的强度。 （ ）
5.简支梁中部受有竖直向下的集中荷载，对于脆性材料而言，正T 形截面比倒T 形截面合理。 （ ）
三、填空题
1.作用在梁上的总荷载相等而作用方式不同时，梁的内力和应力___________。
2.同一根梁的放置方式不同，最大正应力 __________。两块横截面尺寸均为2a×a 的脚手板，__________放是合理的。
3.提高梁弯曲强度主要从_________________和_________________两方面着手。合理的截面形状是_____________。
4.梁上每一个截面上的最大正应力都刚好等于或略小于材料的许用应力，这样的梁叫做___________梁。
5.两块截面尺寸相同的脚手板，按题5图示组合放置，则它们的抗弯截面系数之比Wa∶Wb= _________。
6.工程中常将受弯薄板轧成波形板，如题6图所示，其目的是提高其截面的 _________。
题5图
7.题7图所示工字形截面梁，从正应力强度的角度考虑，若材料的许用应力［σ］压=3［σ］拉，则截面上边缘到形心轴Z 的距离y1=_________时，最为经济；若［σ］拉=3［σ］压，则y1=_________时，最为经济。
题6图
题7图
课后练习4－4－3
一、选择题
1.对于如题1图所示相同的横截面面积，同一梁的强度最高的截面是（ ）。
题1图
2.T 形截面铸铁悬臂梁受力如题2图所示，下列横截面合理布置的方案是（ ）。
3.如题3图所示，两梁的几何尺寸形状及材料相同，从正应力强度条件出发，a 梁的许用荷载［q］与b梁的许用荷载［p］之间有［p］=_________［q］。
题3图
A.L B.L／2 C.L／4 D.2L
4.如题4图所示，a和b 截面梁的材料相同，b梁为叠合梁，层面无摩擦，从强度考虑，a 梁所能承担的最大荷载与b 所能承受的最大荷载之比为（ ）。
题4图
A.2∶1 B.1∶1 C.1∶2 D.1∶1.5
5.如题5图所示四种受均布荷载q作用的梁，为了提高承载能力，梁的支座安排最合理的方式是（ ）。
题5图
二、判断题
1.选择具有较小惯性矩的截面形状，能有效地提高梁的强度。 （ ）
2.在截面积相同的条件下，工字形截面的惯性矩比圆形截面的惯性矩大。 （ ）
3.为了充分发挥材料的作用，通常把大部分的材料布置在距中性轴较远处。 （ ）
4.由于脆性材料的抗拉压能力不同，所以最好选用上下截面对称的截面。 （ ）
5.等强度梁就是每个截面上的最大正应力都相等。 （ ）
三、填空题
1.如题1图所示的圆截面悬臂梁，受集中力作用。当梁的直径减少一半而其他条件不变时，其最大弯曲正应力是原来的___________倍；若梁的长度增大一倍，其他条件不变，则其最大弯曲正应力是原来的___________倍。
题1图
题2图
2.如题2图所示两梁的横截面大小，形状均相同，跨度为L，则两梁的内力图___________，两梁的最大正应力___________。（填“相同”或“不相同”）