分形的定义

曼德勃罗曾经为分形下过两个定义:

(1)满足下式条件

Dim(A)＞dim(A)的集合A,称为分形集。其中,Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数),dim(A)为其拓扑维数。一般说来,Dim(A)不是整数,而是分数。

(2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。

然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义,正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

(i)分形集都具有任意小尺度下的比例细节,或者说它具有精细的结构。

(ii)分形集不能用传统的几何语言来描述,它既不是满足某些条件的点的轨迹,也不是某些简单方程的解集。

(iii)分形集具有某种自相似形式,可能是近似的自相似或者统计的自相似。

(iv)一般,分形集的“分形维数”,严格大于它相应的拓扑维数。

(v)在大多数令人感兴趣的情形下,分形集由非常简单的方法定义,可能以变换的迭代产生。