蝴蝶效应
所做的一切,是使系统遵从同一吸引子上的不同轨线。总之,吸引子的一般形状往往可从实验观测中得到。
混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间——即原因与结果之间——关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为,确定性的原因必定产生规则的结果,但现在我们知道了,它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为,简单的原因必定产生简单的结果(这意味着复杂的结果必然有复杂的原因),但现在我们知道了,简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到,知道这些规律不等于能够预言未来的行为。
原因和结果之间的这种脱节是怎么出现的?为什么相同的一些规律有时候产生明显的模式,有时候却产生混沌?答案可以在家家户户的厨房里,就在打蛋器那样简单的机械装置中找到。两条打蛋臂的运动简单又可预言:每条打蛋臂都平稳地旋转。然而,装置里的糖和蛋白的运动则复杂得多。糖和蛋白在打蛋臂的作用下得到混合,那正是打蛋器要达到的目的,但那两条旋转的打蛋臂并未绞在一起。当你打完蛋后,不必把打蛋臂解开。为什么调合蛋白的运动如此不同于打蛋臂的运动?混合是一个远比我们想象的复杂得多的动态过程。设想一下,试图预言一颗特定的糖粒最终将在何处是何等艰难!当混合物在那对打蛋臂之间通过时,它被向左右两边扯开。两颗起初紧靠在一起的糖粒不久分得很开,各走各的道。事实上,这正是蝴蝶效应在起作用。初始条件中的微小变化有着巨大的影响。因此,混合是一个混沌过程。
反之,每一个混沌过程都包含一种在庞加莱虚拟相空间中的数学混合。这就是潮汐可预言、而天气不可预言的原因。两者包含同一种类型的数学,但潮汐的动力学不在相空间混合,而天气的动力学则在相空间混合。
科学在传统上看重秩序,但我们正开始认识到混沌能给科学带来独特的好处。混沌更容易对外部刺激作出快速反应。设想一下等待接发球的网球运动员。他们站着不动吗?他们有规则地从一边移向另一边吗?当然不。他们双脚零乱地蹦跳。部分原因在于扰乱其对手；但同时也准备对任何发过来的球作出反应。为了能够向任何特定方向快速运动,他们在许多不同方向上作出快速运动。混沌系统与非混沌系统相比较,前者轻而易举地就能非常快地对外部事件作出反应。这对工程控制问题来说很重要。例如,我们现在知道某类湍流由混沌造成——混沌正是使湍流混乱不堪的元凶。我们也许可以证明,通过建立对破坏任何小区域的原发湍流作出极快反应的控制机制,使擦过飞机表面的气流不致太湍乱,从而减小运动阻力,这种情况是可能的。活的生物为了对变化的环境作出快速反应,也必须呈现混沌行为。
这一思想已被一群数学家和物理学家,其中包括威廉·迪托(William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克(Jim Yorke),变成了一项非常有用的实用技术,他们称之为混沌控制。实质上,这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小变化产生随后行为的大变化,这可以是一个优点；你必须做的一切,是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识,使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一,是仅用卫星上遗留的极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道,而与一颗小行星相碰撞。美国国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈,每一圈用射出的少许肼将卫星轻推一下,最后实现碰撞。
这一数学思想已被用来控制湍乱流体中的一条磁性条带——控制流经潜水艇或飞机的湍流的一个原型；控制使胡乱跳动的心脏恢复有规则的节律,这预示着智能起搏器的发明；用来建立和防止脑组织中电活动的节律波,这又开辟了预防癫痫发作的新途径。
混沌已是一个迅速发展的行业。每一个星期都有有关混沌的数学基础的新发现、混沌对我们认识自然界的新应用,或有关应用混吨产生的新技术的报导,包括混沌洗碟机(日本人发明用两条混沌旋转的转臂使碟子洁净的节能机器)和英国人发明的用混沌理论进行数据分析从而改进矿泉水生产中的质量管理的机器。然而,还有更多的东西有待研究。或许混沌最终悬而未决的问题是奇异的量子世界,幸运女神主宰那里的一切。放射性原子“随机地”衰变,它们唯一的规律是统计规律。大量放射性原子虽有明确的“半衰期”一段半数原子将衰变的时间,但我们不能预言哪一半原子即将衰变。前面提到的爱因斯坦的断言,就是针对这一问题的。在将不衰变的放射性原子与将要衰变的放射性原子之间,确实根本不存在任何差别吗?原子怎么知道该干什么?量子力学的表观随机性可能骗人吗?
它确实是确定性混沌吗?
设想原于是宇宙流体的某种振动液滴。放射性原子很有力地振动,并且较小的液滴时常会分裂——衰变。这振动快得我们无法对它们进行细致测量,我们只能测量平均量(如能级)。现在,经典力学告诉我们,一滴真实流体会混沌地振动。当它振动时,其运动是确定性的,但不可预言。许多振动不约而同“随意地”分裂微小的液滴。蝴蝶效应使得不可能预言何时液滴将分裂,但这事件具有精确的统计特征,包括明确的“半衰期”。
放射性原子表观随机衰变可能是某种在微观尺度上的类似物?为什么终归存在统计规律?统计规律是内在确定性的外显,抑或会来自别的什么地方?
遗憾的是,尚没有人使这诱人的思想产生结果——尽管它在精神上类似于时髦的超弦理论,在超弦理论中,亚原于粒子是一种人为的振动着的多维环。在这里主要的类似特征是,振动环与振动液滴都将新的“内部变量”引入其物理学图景中,而显著的区别在于它们处理量子不确定性的方式。超弦理论同传统量子力学一样,把这种不确定性视为真正的随机。然而,在一个像液滴这样的系统里,表观不确定性实际上是由确定性的(但是混沌的)原动力所产生。诀窍——如果只有我们知道如何来操作的话——也许在于:发明某种维持超弦理论成功特征的结构,同时造就几个行为混沌的内部变量。它可能是使上帝的骰子变得确定,并使爱因斯坦在天之灵欣慰的一条动人途径。
重要的不在于你做什么,而在于你如何来做。
混沌正在颠覆我们关于世界如何运作的舒适假定。一方面混沌告诉我们,宇宙远比我们想得要怪异。混沌使许多传统的科学方法受到怀疑,仅仅知道自然界的定律不再足够了。另一方面,混沌还告诉我们,我们过去认为是无规则的某些事物实际上可能是简单规律的结果。自然之混沌也受规律约束。过去,科学往往忽视貌似无规则的事件或现象,理由是,既然它们根本没有任何明显的模式,所以不受简单规律的支配。事实并非如此。恰好在我们鼻子底下就有简单规律——支配疾病流行、心脏病发作或蝗灾的规律。如果我们认识了这些规律,我们就有可能制止随之而来的灾难。混沌已经向我们显示了新的规律,甚至是新型的规律。混沌自有一类新的普适模式。最初被发现的模式之一存在于滴水水龙头里。可能我们还记得水龙头可以有节律地或杂乱地滴水,这取决于水流的速度。实际上,有规则滴水的水龙头与“无规则”滴水的水龙头都是同一数学处方的略微不同的变体。但随着水流经过水龙头的速率的增加,动力学特性的类型发生变化。代表动力学特性的相空间中的吸引子在不断地变化—它以一种可预言的、但极复杂的方式在发生变化。
有规则滴水的水龙头有一个反复滴一滴一滴一滴的节律,每一滴都与前一滴相同。然后略微旋开水龙头,水滴略快。现在节律变成滴一滴一滴一滴,每2滴就重复一次。不仅水滴的大小(它决定水滴听上去有多响),而且从这一滴到下一滴的滴落时刻,都略有变化。
假如你让水流得再快一些,得到4滴节律,水滴再快一点,产生8滴节律。水滴重复序列的长度不断加倍。在数学模型里,这一过程无限继续下去,具有16,32,64等水滴的节律群。但产生每次相继周期倍化的流速变得愈来愈细微；并存在一个节律群大小在此无限频繁加倍的流速。此时此刻,没有任何水滴序列完全重复同一模式。这就是混沌。
我们可以用庞加莱的几何语言来表达所发生的情形。对于水龙头,吸引子起初是闭环,表示周期循环。设想这环是围绕你手指的一根橡皮筋。当流速增大时,这环分裂成2个相邻的环,就像橡皮筋在手指上绕了2圈。于是橡皮筋2倍于原长度,所以周期加倍。然后这已经加倍的环又沿其长度完全以同样方式加倍,产生周期4循环,以此类推。在无穷多次加倍之后,你的手指被细面条似的橡皮筋缠绕,即混沌吸引子。
这种混沌创生方案叫周期倍化级联。1975年,物理学家米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum)发现,一个可用实验加以测量的特殊数与每个周期倍化级联相联系。这个数大约是4.669,它与π并列成为似乎在数学及其与自然界的关系中都有非同寻常意义的离奇数之一。费根鲍姆数也有一个符号:希腊字母δ。数π告诉我们圆周长如何与圆的直径相关。类似地,费根鲍姆数δ告诉我们水滴周期如何与水的流速相关。准确地说,你必须通过这个额外量旋开水龙头,在每次周期倍化时减小l/4.669。
π是与圆有关的任何东西的一个定量特征。同理,费根鲍姆数δ是任何周期倍化级联的定量特征,不管级联是如何产生的或如何用实验得出的。这同一个数在关于液氨、水、电路、摆、磁体以及振动车轮的实验中都会出现。它是自然界中一个新的普适模式,是我们仅仅透过混沌之眼就可看到的模式,一个从定性现象产生的定量模式,一个数。这数确实是自然之数中的一个。费根鲍姆数打开了通往数学新世界的大门,我们才刚刚开始探索这个世界。费根鲍姆发现的这个精确模式(和谐如此类的其他模式)是一件杰作。其根本点在于,甚至当自然之定律的结果看上去无模式时,定律依然存在,模式亦然。混沌不是无规,它是由精确规律产生的貌似无规的行为。混沌是隐秘形式的秩序。