8.3.1　能被11整除的数的特征

能被11整除的数的特征是:这个数的隔位数字和的差能被11整除.

例1 判断4325321是否能被11整除

解∵(4+2+3+1)-(3+5+2)=0,而0能被11整除.

∴4325321能被11整除.

能被11整除的数的特征证明:

设 A=an10n+an-110n-1+…+a2102+a1101+a0

而a0=a0

a1×10=a1(11-1)=11a1-a1

a2×100=a2×(99+1)=99a2+a2=11×9a2+a2

a3×1000=a3×(990+11-1)=990a3+11a3-a3=11×10×9a3+11a3-a3(https://www.daowen.com)

a4×10000=a4×(9999+1)=11×9×101a4+a4

a5×100000=(99990+11-1)a5=11×9×10×101a5+11a5-a5

当n 为奇数时,

∵第一个加数能被11整除,因此A 能被11整除的特征是第二个加数a0-a1+a2-a3+…+an-1-an 能被11整除.

即(a0+a2+…+an-1)-(a1+a3+…+an)或(a1+a3+…+an)-(a0+a2+…an-1)能被11整除.

当n 为偶数时

而第一个加数能被11整除,所以A 能被11整除的特征是:(a0+a2+a4+…+an)-(a1+a3+a5+…+an-1)或(a1+a3+a5+…+an-1)-(a0+a2+a4+…+an)能被11整除.

这样,一个数能被11整除的特征是:这个数的偶数位上的数字和与奇数位上的数字和之差(或反过来)能被11整除.