三、典型例题

题型Ⅰ 通过事件的关系和运算用简单事件表示复合事件

例1.1 设A，B，C为任意三个随机事件，则以下命题正确的是（）.

题型Ⅱ 由已知事件的概率求出另外一些与之有关系的事件的概率

题型Ⅲ 古典概型下概率的计算

例1.4 一部4卷文集随便放在书架上，问各卷自左向右的卷号恰好为1，2，3，4的概率是多少？

解基本事件总数为=4×3×2×1，设A表示事件“各卷自左向右的卷号恰好为1，2，3，4”，则A包含的基本事件数只有1个，故

例1.5 将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，记事件A={恰有两次出现币值朝上}，B={至少有一次出现币值朝上}，求P（A），P（B）.

解每掷硬币三次为一次试验，用H表示币值朝上，T表示币值朝下，则每次试验的结果都需要用三个字母表示.例如HHT表示前两次币值朝上，第三次币值朝下，于是样本空间Ω={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}中包含基本事件总数为23=8个，A={HHT，HTH，THH}中包含的基本事件数为=3个={TTT}中包含的基本事件数为1个，所以

例1.6 从1，2，…，10共10个数中任取一数，设每个数以1/10的概率取中，取后放回，先后取7个数，求下列事件的概率：

（1）A1={7个数全不相同}；

（2）A2={不含10和1}；

（3）A3={10恰好出现两次}；

（4）A4={10至少出现两次}.

解样本空间的样本点总数（即基本事件总数）为107.

（1）A1所包含的样本点总数为10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列，因此A1所包含的样本点总数为=10×9×8×7×6×5×4，故

（2）A2所包含的样本点总数为从8个相异元素里作允许重复的7种元素的排列，因此A2所包含的样本点总数为87，故

（3）10恰好出现两次，可以是7次取数中的任意两次，有=21种取法；其余的5次，每次可以在剩下的9个数中任取，共有95种取法，故

例1.7 （分房问题）设有n个人，每个人等可能地被分配到N个房间的任意一间去住（n≤N），设A={指定的n个房间各住1人}，B={恰好有n个房间，其中各住1人}，求P（A），P（B）.

解因为每一个人有N个房间可供选择，所以n个人住在N个房间的方式共有种，每种方式是等可能的.

（1）指定的n个房间各住1人，其包含的基本事件数为n×（n-1）×…×1=n！，故P（A）=.

（2）n个房间可以在N个房间中任意选取，其选法总数有种，对每一个选定的n个房间，由（1）知又有n×（n-1）×…×1=n！种分配方式，所以恰好有n个房间，其中各住1人的住法为·n！，故.

例1.8 n双相异的鞋共2n只，随机地分为n堆，每堆2只，求“各堆都自成一双鞋”这个事件A的概率.

解把这2n只鞋自左至右排成一列（排法有（2n）！种），然后，把处在1、2位置的作为一堆，3、4位置的作为一堆，等等.为计算使事件A发生的排列法，注意第1位置可以是这2n只鞋中的任一只，其取法有2n种，第1位置取定后，第2位置只有1种取法，即必然取与第1位置的鞋配成一双的那一只；以此类推，可知奇数位置依次有2n，2n-2，2n-4，…，2种取法，而偶数位置则都只有1种取法，所以，事件A包含的基本事件数为2n（2n-2）（2n-4）…2=2nn！，故

题型Ⅳ 几何概型下概率的计算

例1.10 甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某站乘公共汽车，假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在下午1点到2点的任何时刻到达车站是等可能的.又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1∶15、1∶30、1∶45、2∶00.（1）如果甲、乙约定见车就乘，求甲、乙同乘一辆车的概率P（A）；（2）如果甲、乙约定最多等一辆车，求甲、乙同乘一辆车的概率P（B）.

解 4辆车开车的时刻将1点至2点区间4等分.设x，y分别为甲、乙两人到达的时刻，于是他们到站的时刻组成了数组（x，y）.甲乙两人到站时刻组成的数组的所有可能情形对应正方形ABCD，共大小相同的16个方格，如图1.1所示.