（三）计算题
1.一袋中装有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，求：
（1）X的概率分布列；
（2）X的分布函数.
解 （1）从5只球中任取3只，有
=10种取法；X的可能值为3，4，5，则X的分布列为
（2）X的分布函数为
2.投掷一个骰子4次，求出现6点的次数的分布概率.
解 设X表示出现6点，则X～B（4，
），故出现6点的次数的分布概率为
3.一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：
（1）每分钟的呼唤次数大于10的概率；
（2）每分钟的呼唤次数恰好为8次的概率.
解 设X表示每分钟收到呼唤的次数，则由题设知X～P（4），查泊松分布表得到
（1）每分钟的呼唤次数大于10的概率为
（2）每分钟的呼唤次数恰好为8次的概率.
4.在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0，a]中任一子区间内的概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数.
解 （1）当x＜0时，F（x）=P（X≤x）=P（Φ）=0.
（2）当0≤x＜a时，F（x）=P（X≤x）=k（x-0）=kx；又当x=a时，X≤x为必然事件，故1=P（X≤a）=ka，即k=
，因而F（x）=P（X≤x）=kx=
.
（3）当x≥a时，F（x）=P（X≤x）=P（Ω）=1.
因此，得到X的分布函数为
7.设X是连续型随机变量，已知X的分布函数为
（1）求常数k的值；
（3）求X的概率密度函数.
解 （1）由于X是连续型随机变量，因此F（x）连续，即
所以k=1，于是
（3）X的概率密度函数为(https://www.daowen.com)
8.某自动机床生产的齿轮的直径X～N（10.05，0.062）（单位：cm），规定直径在10.05±0.12内为合格，求齿轮不合格的概率.
解 由于X～N（10.05，0.062），故
～N（0，1），于是得到齿轮合格的概率为
故所求概率为1-0.9544=0.0456.
9.设测量的误差X～N（7.5，100）（单位：m），问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10m的概率大于0.9？
设Y表示误差的绝对值不超过10m（即
≤10）的次数，n表示独立测量的次数，显然Y～B（n，0.5586），故P（Y≥1）=1-P（Y=0）=1-（1-0.5586）n，欲使P（Y≥1）＞0.9，即需1-（1-0.5586）n＞0.9，亦即n=4.
10.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位：分）服从参数为
的指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，又设顾客每次去银行是独立的，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求Y的概率分布列，并求P（Y≥1）.
解 由于X服从参数为
的指数分布，故X的分布函数为
因而该顾客在一个月内未等到服务而离开的概率为
由于顾客每次去银行是独立的，又由题意可知Y服从二项分布，即Y～B（5，e-2），因此Y的概率分布列为
11.设随机变量X的概率分布列为
求Y=X2的概率分布列.
解 由于X的所有可能取值为-2，-1，0，1，3，所以Y=X2的所有可能取值为0，1，4，9，故Y=X2的概率分布列为
12.设随机变量X～U[-2，2]，求随机变量Y=
+1的密度函数fY（y）.
解 设fX（x）表示X的密度函数，FX（x）表示X的分布函数，fY（y）表示Y的概率密度函数，FY（y）表示Y的分布函数.
（1）先求随机变量Y的分布函数FY（y）：
（3）设fX（x）表示X的密度函数，FX（x）表示X的分布函数，fY（y）表示Y的概率密度函数，FY（y）表示Y的分布函数.
随机变量Y的分布函数FY（y）为
14.对圆直径做近似测量，设其值均匀分布在区间[a，b]内，求圆面积的概率密度函数.
解 设X表示圆直径的测量值，fX（x）表示X的密度函数，FX（x）表示X的分布函数，Y表示圆面积，fY（y）是Y的概率密度函数，FY（y）是Y的分布函数.
（1）先求圆面积随机变量Y的分布函数FY（y）：
