一、迭代原理
网络画板的迭代功能是非常强大的，所以我们可以利用网络画板完成一些很复杂的迭代问题.其他画板在使用迭代功能时都有很多限制，特别是进行迭代时，迭代原象点都必须是自由点或者至少是半自由点，迭代的变量也必须是自由变量.如果一定要让原象点是非自由点，或者迭代变量是计算值，那么需要通过一定的变通才能实现，这样对于初学者就造成了很大的障碍.而网络画板的迭代就没有这个限制，原象点不一定要为自由点或半自由点，迭代的变量也不一定要为自由变量.任何点、任何变量或者计算式都能作为原象来用，只要你选择的原象存在子对象就能进行迭代，所以网络画板的迭代功能非常适合初学者.接下来我们具体讲解一下网络画板的迭代.
首先介绍一个简单的案例，现在想实现如图1的效果，该如何迭代？
图1 迭代案例1
要实现这个效果，方法非常多，现在介绍如下三种方法：
共同的步骤如下：如图2，画一个圆O，创建变量t和n，计算t+1.
图2 作圆并创建变量
方法一：1.以点O为缩放中心，缩放比例为0.9，缩放点A得到点B（如图3）.
图3 O为缩放中心缩放点A
2.如图4，再以点O为旋转中心，旋转角度为2pi/n，把点A逆时针方向旋转得到点C.
图4 O为中心，点A逆时针方向旋转到点C
3.如图5，把变量t附着到点B，并隐藏点B.
图5 变量t附着到点B
4.选中点A和变量t，进行迭代，如图6.
图6 以A和变量t进行迭代
5.最后把变量t拖动到数值1，变量n拖动到25即可，如图7.
图7 方法一迭代效果图
总结：这个方法的特点是原象既有点对象（点A），又有变量（变量t），而且全部图形包括两部分，一部分是原象（只有一开始的点A和一开始附着的文本1，点C可以隐藏，不会影响图形的显示），另一部分是迭代象（就是文本从2开始一直到文本25，以及包括对应的圆上的各点）.可见，总共生成25个文本，只需要迭代24次，还有1次就是最开始的原象对应的文本.
有时候，如果为了统一起见，我们不想借用原象来显示，而想让显示的结果就是一个迭代的整体，那该如何实现呢？
方法二：1.回到一开始的状态，如图8.
图8 开始的状态圆
2.计算2pi*t/n的值，以O为旋转中心，以计算值为旋转角度，把点A逆时针旋转得到点C，如图9.
图9 按计算值旋转点A
3.以点O为缩放中心，把点C按缩放比例0.9缩放得到点B，如图10.
图10 以O为缩放中心缩放点C
4.把计算值m0附着到点B，并隐藏点B，如图11.
图11 计算值m0附着到点B
5.选中变量t进行迭代，如图12.
图12 对变量t进行迭代
6.隐藏点A、点C以及附着的文本，并把变量t拖动到-1，如图13.
图13 方法二迭代效果图
在上面的操作过程中的第4步，为什么要把m0附着到点B，为什么不能把m0的原象t的值附着到点B？我们不妨测试一下，结果如图14.
图14 t值与点B合并迭代效果图
这两者的区别和联系：首先迭代的初始值t都等于-1，图13中迭代m次的结果是图14迭代m-1次的结果.为什么会这样呢？因为图15是对映象m0进行迭代，它生成的第一个迭代象就是m0+1，而图14是对原象t进行迭代，它生成的第一个迭代象就是m0，它生成的第二个迭代象才是上面的m0+1.可见，当初始值不变的情况下，迭代原象产生的第m次结果就是迭代映象产生的第m-1次结果.
如果想把变量t的值附着到点B也产生相同的结果，有没有办法呢？
答案是有的，我们可以修改m1的值为：2pi*（t-1）/n，并且让变量t=0，如图15所示.
图15 t=0，修改m1值迭代效果图
总结：这个方法的特点是所有的图象都是迭代象，原象已经隐藏掉了，这样如果用变量n来控制迭代深度时，处理起来就可以实现统一，而不需要当n=1时再单独处理原象的显隐.这个方法的另一个特点是迭代时的原象只有变量t，而没有点对象.
方法三：1.回到初始状态，如图16.
图16 初始状态图
2.以点O为旋转中心，旋转角度为2pi/n，把点A顺时针旋转得到点B（如图17）.
图17 点A顺时针旋转得到点B
3.隐藏点A，以点O为旋转中心，旋转角度为2pi/n，把点B逆时针旋转得到点C（如图18）.
图18 点B逆时针旋转得到点C
4.以点O为中心，缩放比例为0.9，缩放点B得到点D，并附着t的值到点D（如图19）.
图19 缩放点B到点D，并合并t的值到点D
5.选中变量t、点B进行迭代，如图20.(https://www.daowen.com)
图20 对变量t和点B进行迭代
6.把变量t拖动到0，并隐藏B、C两点和附着的文本，如图21.
图21 方法三迭代效果图
方法还有很多，但这三种方法都是比较常见和实用的方法.
现在再来看看下面这个做法为什么不成功.
失败方法：
图22 自由点A缩放得到点B
1.和前面步骤类似，点A是自由点，点B是缩放点A得到（如图22），接下来把t的值附着到点B，然后旋转点A到点C，旋转角度是2pi*t/n，旋转中心为点O，隐藏点B（如图23）.
图23 点B与t的值合并，旋转点A得到点C
2.然后对变量t进行迭代，我们会发现结果如图24所示.
图24 对变量t进行迭代
这里所有的文本都重合在一起，但是点还是分开来的，这是为什么呢？
接下来我们退到第1步的结果，连续变动变量t的值，我们会看到如图25所示的几种结果：
图25 对变量t与点B合并分析图
可见，当t不断变化时，文本的值是会改变的，点C的位置也是会改变的，但是文本的位置却是不变的，这就是为什么迭代的时候可以得到点的图象，但是文本却重合在一起.那么为什么这种办法会失效呢？
首先我们来说一下网络画板迭代的时候“原象”“映象”和“迭代的象”之间有什么关系（如图26）？
图26 迭代对话框中“原象”“映象”和“迭代的象”
1.原象：可以作为原象的对象有两种，一种是点（自由点、半自由点、非自由点都可以，但是迭代生成的点不行），第二种是变量或者计算表达式都可以.
2.映象：映象必须由原象产生，所以一定是原象的子对象或者是子对象的子对象.
3.迭代的象：迭代的象就是可以生成迭代对象的对象，只有原象的子对象或者映象的子对象（当然，映象的子对象肯定也是原象的子对象，所以原象的子对象不限定为直接子对象，可能有多层子对象，甚至包括原象生成的迭代象，这也是累次迭代的基础）可以成为“迭代的象”，从而得到其迭代象.
接着，我们再来看看上面失败的作法，点A是自由对象，它不是原象t的子对象，所以不能通过对变量t的迭代来生成点A以及点A的子对象的迭代象.而变量t却附着在点A的子对象B上，而对象B没有迭代象，所以附着在点B上的文本是不会动的.但是因为文本是变量t附着到点B上的，所以文本就成为了变量t的子对象，所以在对变量t进行迭代时，文本的值是会发生变化的，也就是文本生成了对应的迭代象.再看点C，它是由点A绕点O旋转2pi*t/n得到，这样点C就成为变量t的子对象，所以当对变量t进行迭代时，点C也可以生成迭代象，也就得到圆周上的一系列点.
那么，我们应该如何修改迭代规则，使得文本不光内容会迭代，文本的位置也会随着t的变化而变化呢？
知道了迭代的原理，接下来可以这样修改.为了使得文本的位置跟随改变，文本附着的对象点B就必须在迭代中成为原象的子对象，而要做到这一点，只需要在迭代规则中增加点A为原象即可，迭代规则如图27所示.
图27 迭代增加点A为原象
我们发现，文本的位置的确有变化了，但是为什么不是一个挨着一个呢？
要一个挨着一个的话，只需要把点C的旋转角度改成2pi/n即可（如图28）.
图28 点C的旋转角度改成2pi/n后的迭代效果图
如果不这么修改，点C的位置既要受到原象t的影响，又要受到原象A的影响，这两个影响共同叠加，就会出现如图27所示的现象.
但是还有一个问题，修改完后，把变量t拖回到0，得到的结果如图29.
图29 变量t拖回到0时的迭代情况
文本为1的点跑到了点A上面一格，当把变量t变为-1时，也不是我们想要的结果如图30所示.
图30 变量t变为-1时迭代效果图
只有当我们把变量t变为1，迭代深度改成n-1时，才达到了我们想要的效果，如图31所示.
图31 变量t变为1，迭代深度改成n-1时迭代效果图
此时，文本1不是迭代象，文本2到26都是迭代象，也就是此时整个图象分为2类，一类是迭代前就存在的对象（比如文本1），一类就是迭代象（比如文本2到文本26）.
为什么必须要借助于迭代前的对象才可以达到效果？
这是因为我们在迭代之前的状态是这样的，文本是在点A的位置.若你不想利用初始文本，而又想都是迭代象的话，目前是做不到的（如图32）.
图32 不想利用初始文本
因为迭代象的第一个位置始终是从原始对象的下一个位置开始的.比如说在这里，原始对象就是文本1的位置，那么，当你进行迭代时，点A迭代到下一个位置点C时，文本1也会跟着到下一个位置，也就是点C的位置.所以生成的迭代象，都是从点C的位置开始的（如图33）.
图33 从点C的位置开始迭代
而要实现的图中，点C处的文本是2，意味着它之前在点A处的文本必须是1才行，而当把变量t的值变为1时，点C以及点C后面的点都是正确的迭代，但是因为是从点C开始生成对应的迭代象，所以点A处就不是迭代象，而是初始的对象.
接下来我们再来探讨在一开始的这个状态下（如图34），能否实现全部图象都是由迭代象得到.
图34 初始状态图
在初始状态下，当把变量t附着到点B时，要使得文本位置变动，只能让点A成为原象，但是迭代象的位置是从初始对象（点A）位置的下一个位置开始得到第一个迭代象，所以，只能使得点A的这个位置成为迭代象的最后一个位置（因为点A这个位置的下一个位置才是第一个迭代象的位置）.那么应该如何做到呢？我们可以这样做：
图35 点C的旋转方向改成顺时针
如图35，把点C的旋转方向改成“顺时针”，变量t的值从27开始，计算式m0变成t-1，效果如图36所示.
图36 修改后效果图
总结：从以上迭代过程可以看出，网络画板在迭代方面的确非常强大，迭代很自由，几乎没什么限制，只要原象和映象之间存在父子关系，那就可以进行迭代，除非他们的子对象只包含计算值，那就不能进行迭代，其他情形都能够进行迭代.在迭代时也要注意一些细节，就是既可以只用变量进行迭代，也可以只用点进行迭代，还可以两者同时使用，这都可以根据个人的需要来确定.还有一点值得注意，生成的迭代象的第一个位置都是从原始对象的下一个位置开始的.