第2章 广义相对论
在狭义相对论中，时空是一个空的舞台，观测者和光线穿行其中。只要记住固有时、固有长度、时间延缓和长度收缩等概念，我们就可以清楚地谈论两个事件之间的时间间隔，或两个物体之间的距离。所有运动都是相对的，这一核心思想让时空显得更加空旷。如果有某种“存在”——某种静止的“以太”（ether）来填满所有的时空，我们就总能将以太当作静止参照系，来描述物体相对于以太是静止的还是运动的，并发展出绝对运动的概念。[1]
广义相对论与狭义相对论的情境截然不同。时空是主要角色，它会对大质量物体的存在产生响应，或者说受形式为Gμv=8πGNTμv/c4的爱因斯坦场方程的控制，时空将变得弯曲。让我们先看看该方程式中的那些符号是什么意思：下标希腊字母μ和v是所谓的张量指标，它们使我们一下子写出了10个不同的场方程；爱因斯坦张量Gμv描述了时空曲率；应力-能量张量Tμ v描述了物质的存在，在真空中，Tμv=0；牛顿引力常量GN描述的是物质对时空的影响程度；c依然是光速；8π因子（其中π=3.141 59…）是一个不太重要的常数。我们完全可以重新定义GN，使它能够包含8π因子。但我们没有这么做，因为牛顿的引力理论中也包含GN，现在才来改变它的含义已经太晚了。
作为学习相对论的学生，我们也许会问，在给时空分配了如此活跃的角色的情况下，广义相对论如何包含了狭义相对论？答案是：在大多数情况下引力都非常微弱。如果完全忽略引力，我们就可以回到没有曲率的闵可夫斯基时空。在闵可夫斯基时空中，狭义相对论是有效的，特别是闵可夫斯基时空能在洛伦兹变换前后保持不变，这就从数学的角度说明了，所有参照系是等价的。而在引力存在时，这些参照系变得不再等价（至少在狭义相对论的一般意义上），因为引力源会使其中的一个参照系变得特殊。读者可能还记得，我们在前文中描述鲍勃的B参照系是静止的时候（实际上，它只是相对于地球静止），就已经提到了这一点。
即使在引力存在时，我们也可以在时空的小区域内使用狭义相对论。这是因为弱引力对时空的弯曲效应很小，如果我们关注的物体或事件在时间和空间上足够接近，就可以近似地认为它们处在一个平直时空中。打个比方，想象一颗子弹穿过一个正从树上掉下来的苹果。我们承认这里引力的作用最终会使苹果以一定的速度落到地面上。但在子弹穿过苹果的极短时间里，重力加速度很弱，不会对整个过程产生显著影响。如果我们想知道子弹穿过苹果时的固有时和时间延缓，用狭义相对论就足够了。
如果想了解在引力很强时结果会有什么不同，你可以想象一颗飞向黑洞的子弹。它不会打穿黑洞！一旦子弹穿过事件视界，它就消失了，也不会有残片从黑洞的另一侧飞出来。这并不是因为黑洞太大，即使对于一个视界只有苹果大小的黑洞来说，情况也如此。黑洞是高度弯曲的时空区域，它们绑架了所有落入其中的物体的未来。（顺便说一下，一个视界大小和苹果相当的黑洞，其质量大约是地球质量的5倍。）
最初，我们打算在引力相当弱的情况下（比如我们在地球上感受到的重力）磨砺我们对广义相对论的直觉。但仍然有一些很奇怪的概念需要我们习惯，其中最明显的是，你在引力阱中的位置决定了时间流逝的快慢。在本章的结尾部分，我们在重温了爱因斯坦方程的全部魅力之后，将寻求强大的微分几何的帮助。只有通过微分几何，我们才能充分阐明之后几章的思想，特别是关于时空弯曲几何——黑洞的概念。
图2-1 子弹、苹果和黑洞。左图展示了一颗子弹穿过一个正从树上落下的苹果，描述这种情形用狭义相对论就足够了，因为引力很微弱且作用的时间很短，不会造成什么影响。右图展示了一颗子弹正在飞向一个视界只有苹果大小的黑洞，这颗子弹将永远不会从黑洞的另一侧飞出来
我们将尽可能地从与电磁学的类比中获得一些启示，以进一步探索广义相对论。为此，我们应该从场的概念入手，以隐含辐射的场方程来收尾。我们的最终目标——爱因斯坦场方程，是描述局域弯曲时空的邻近点如何相互推拉的微分方程。但处理完整、复杂的高度弯曲时空的问题，恰恰是我们现在不想做的事，这就是为什么目前我们把注意力放在所谓的“普通引力”上的原因。普通引力指的是，在所有大质量物体的相对运动速度都比光速慢得多，且没有致密到足够形成黑洞的情况下的引力。太阳系就属于这种情况，在银河系中，除了在坍缩的恒星和银河系中心的黑洞附近，大部分地方也都如此。在讨论普通引力时，我们要求时空几乎是平直的，但又不完全平直。
在电磁学中，电场是最简单的场概念，它使得正电荷和负电荷相互吸引。我们迈向广义相对论的第一步，是要了解如何用类似于电场的性质来解释普通引力——这一性质在时空的各处都显得意义重大，无论是否在引力源附近。总之，我们正试图找到牛顿在描述万有引力产生时无法理解的问题的答案，“我预想不需要任何假设”。
答案就是时间本身。更确切地说，普通引力是由于引力红移而产生的，引力红移就是当你接近一个大质量物体时时间变慢的原因。罗伯特·庞德（Robert Pound）和格伦·雷布卡（Glen Rebka）在1959年的实验中首次直接观测到了引力红移，我们将在后文中进行介绍。引力红移效应很微弱（在地球表面只有1/109），但它又大到足以对全球定位系统（GPS）卫星的设计产生重要的影响。卫星在地球引力阱中的位置比地球表面的我们要高得多，因此它们的时钟比我们的走得快。精确定时对于GPS系统进行高精度定位的能力至关重要，因此GPS系统的设计仔细地考虑了相对论效应。
时间的流逝对于理解黑洞也是至关重要的。我们将在第3章中更详细地探讨，黑洞附近的时空如此扭曲，以至于当你到达视界时，通常意义上的时间就会完全停止。只要我们不冒险过于靠近视界，引力红移的具体属性也都适用于黑洞时空。在第3章中，我们将不断深入探索引力阱来完成我们对黑洞的解释，直到最终被黑洞中心的奇点摧毁。
在一个大质量物体附近时间会变慢的想法看起来似乎不太可靠。我们怎么知道这确实会发生呢？究竟为什么它会对其他的大质量物体产生引力呢？庞德-雷布卡实验为第一个问题提供了一个漂亮的答案，第二个问题的答案则将最终引出关于时空测地线的关键概念。
庞德和雷布卡测量引力红移时使用的是光脉冲。他们从对放射性同位素的研究中得知，铁-57 （一种含26个质子和31个中子的铁同位素）可以吸收和发射一个极其高频的光子，约为3×1018赫兹。相较而言，新泽西的101.5广播电台的频率则要低得多，只有1亿多赫兹。1赫兹代表每秒振动1 次，100万赫兹就是每秒振动100万次。对于我们而言，可以把铁-57当作一个每秒嘀嗒为3×1018次的小钟。这些“嘀嗒”可以在远处观测，因为铁-57发射的光子能从一个地方传播到另一个地方。庞德和雷布卡将铁-57发射的光子从一座塔的底部发射到顶部，塔的高度为22米多。他们使用一种精确测量到达塔顶的光子频率的方法，这种测量方法有点儿类似于你调频接收新泽西101.5广播电台，而不是其他电台时。最终他们发现塔顶的频率比塔底的频率要小，这种频率的减少恰好符合引力红移预测的结果。
图2-2 庞德- 雷布卡实验示意图。由铁- 57 产生的光子逆着引力向上发射，高处的光电探测器测量光子的引力红移。该实验测得的引力红移效应远没有我们在图上展示的这么夸张
从庞德-雷布卡实验中，我们已经可以瞥见引力红移与引力有关的蛛丝马迹。接下来，我们需要爱因斯坦的另一个观点［在此我们将跟随马克斯·普朗克（Max Planck）的思路］：光子的能量与其频率成正比。当频率降低时，能量也随之减少。这实际上是有道理的，随着光子向上运动，为了克服引力，光子损失了能量。但它不能通过减速来损失能量——与在狭义相对论中一样，广义相对论中的光依然以固定的速度传播。因此，光子的能量损失体现在它的引力红移频率上。
在第1章中学习了时间延缓之后，你可能会怀疑引力红移产生的原因是，物体在落入引力阱的过程中积累了可观的速度，当我们谈论引力红移时，其实就是指时间延缓。事实并非如此，引力红移与时间延缓是完全不同的概念。庞德和雷布卡的时钟都是相对于地球静止的。
引力红移无处不在。举例来说，只要你不是平躺在地上，你的头就会因为引力红移而比你的脚衰老得快。与时间延缓效应一样，引力红移对我们的日常生活的影响非常微弱：在你的一生中，你的头只会比你的脚年长几微秒。如果想获得明显的效果，你就必须站在比地球更强的引力源上。再举个例子，假设你可以站在距离黑洞的事件视界仅有几厘米的地方，而且这个黑洞的视界的周长正好和地球的周长相当，那你的脚就会比你的头老得慢得多。当然，身处这样的环境中无异于一次毁灭性的灾难。但在这里我们只从概念上进行讨论。
我们已经知道，越靠近大质量的物体，时间的流逝就越慢，现在我们如何用这一观点来解释像掉落的苹果、运转的行星这样更常见的引力现象呢？我们需要借用一句因被伏尔泰讽刺而出名的过分乐观主义者的座右铭：“在理想的最美好的世界中，一切都为最美好的目的而设。”伏尔泰同时期的科学家和数学家相信［其中最著名的就是拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）］，与掉落的苹果和运转的行星一样，大质量物体的运动在某种意义上是最优运动。换句话说，苹果从树枝到地面的自由落体运动，在某种意义上，比其他任何相同初始状态与最终状态的运动都要好。拉格朗日的伟大成就便是用精确的数学语言阐述了这个思想。在他的描述中，在指定的初始状态和最终状态之间，任何可以想到的苹果的运动都被定义为“作用量”（action），而苹果实际选择的运动要么是最小化作用量，要么是最大化作用量。任何情况下，实际运动都是数学意义上的最优运动。
对于牛顿的追随者来说，拉格朗日把力学当作最优化问题的想法似乎是无稽之谈。一个无生命的物体怎么能在各种可能性中选择出最优路径呢？根据牛顿力学，物体将一直做直线运动，直到受到一个推力，物体将根据F=m a 改变运动方向，哪里会存在什么最优路径呢？奇妙的是，通过仔细构建运动物体的“作用量”，拉格朗日能够精准地恢复牛顿定律。不可否认，他选择的作用量不太直观，但是，如果我们快进到广义相对论的部分，拉格朗日公式的全部意义就会变得清晰明了。物体的作用量就是跟随物体一起运动的观测者所花的时间。物体实际进行的运动是物体固有时的最优解。这就是最优固有时原则。在我们即将举的例子中，固有时是最大化的。
狭义相对论中的一个例子有助于我们做集中讨论，它就是“孪生子佯谬”（记住，狭义相对论意味着不涉及引力）。在孪生子佯谬中，我们假设两名观测者分别叫艾丽丝和鲍勃，他们在一开始时处于同一位置，并携带了完全相同的秒表。我们给艾丽丝一艘宇宙飞船，她的计划是从鲍勃所在的位置出发，以一个恒定的速度（假设速度是光速的一半）飞一整天，然后掉转飞船以同样的速度回到鲍勃身边。与此同时，鲍勃待在原地无所事事。如果我们还记得第1章讨论过的固有时，就可以预测这次实验的结果：艾丽丝用秒表测得的这趟旅行的时间是两天，而鲍勃用秒表测得的这一时间将超过两天，事实上，旅行时间约为2.3 天。
孪生子佯谬源于以下的错误推理。既然所有运动都是相对的，艾丽丝可以说是鲍勃远离了她，然后他又回来了。那么在她看来，难道不应该是鲍勃测得的时间较短吗？
要弄清楚这种推理错在哪里，我们需要明确艾丽丝和鲍勃之间的一个明显差别。那就是艾丽丝在掉转飞船返回地球的过程中加速了，而鲍勃从未加速或减速。在艾丽丝的整个旅程中，我们可以让鲍勃自由地在一个空旷的地方飘浮，从拉格朗日的观点来看，鲍勃的运动是“最优的”，因为它绝对自然，不需要借助任何外力。因此，鲍勃经历了一个更长的固有时是说得通的。
图2-3 鲍勃一边做家庭作业一边缓慢地走向学校，而艾丽丝会在驾驶飞船的途中完成她的作业。如果艾丽丝的飞船只在一开始时加速，而在接下来的旅途中只做抛物线运动，这样一来她就能拥有比鲍勃更多的时间，在星期一早晨9 点之前完成她的家庭作业
孪生子佯谬还有一种有趣的变形，它将引力效应引入我们的例子（见图2-3）。假设艾丽丝和鲍勃生活在一个引力阱里，他们俩都在那里上学。他们有一项很难完成的家庭作业，必须在48个小时内完成，即星期一早上9点之前。鲍勃从关于孪生子佯谬的经验中得出结论，如果他尽可能少地移动，就将拥有最多的时间来完成这项作业。因此，他以非常缓慢和稳定的速度走路去上学，同时做作业并于星期一早上9点到达学校。而冒险家艾丽丝则认为应该开着她的飞船离开引力阱，因为如果没有引力红移，她就会有更多的时间做家庭作业。但她又担心她在旅途中的时间延缓问题。
最优固有时原则告诉我们，为了实现固有时的最大化，艾丽丝应该表现得像惰性物质一样。那么，惰性物质会做些什么？好吧，我们承认它喜欢静止不动。所以，鲍勃的计划是通过极其缓慢的走路上学，来最小化他的运动。但是，引力让事情变得不一样了。引力阱里的物质不喜欢静止不动，它喜欢往下掉。当引力存在时，鲍勃慢慢地走到学校是不自然的，除非他走在一堆在引力阱中比他所在的位置还要深的东西上。如果我们希望一大块惰性物质能够于星期六的早上9点从鲍勃和艾丽丝的家里出发，并且在48个小时后出现在他们的学校，那么我们最好把它抛出去，使它做抛物线运动，然后恰好于星期一早上9点掉落在学校。明白了这一点后，艾丽丝高兴地坐上了她的飞船，随着推进器的轰鸣猛地飞离了家，然后在周末剩下的时间里疯狂地做作业。[2]她的火箭现在就像一枚弹道导弹，这意味着除了初始的推力之外，它只受引力的作用，换句话说，它在做自由落体运动。
艾丽丝和鲍勃对于时间流逝的实验有助于说明爱因斯坦的等效原理，等效原理的最简单形式表明，加速度与引力是很难区分的。在没有引力情况下的孪生子佯谬中，艾丽丝必须加速、减速、掉头并回到鲍勃那里。但如果我们让加速过程变得缓慢、稳定而不是陡然发生，这就等同于让艾丽丝在引力场中度过了她的整个旅程。与此相反，在加入了引力的孪生子佯谬版本中，艾丽丝周末一直在做自由落体运动，而鲍勃则在引力场中度过了他的周末。因此，我们看到艾丽丝和鲍勃在孪生子佯谬的两个版本之间互换了角色。
一个更常见的等效原理的例子是，我们乘坐电梯，当电梯加速向上时，我们会感到身体变重了，而当电梯加速向下时，我们则会感到身体变轻了。如果电梯向上加速，穿过一个附近没有引力源的真空区域，我们在电梯里的体验就将与在相对于地球静止的电梯里相同。同样，如果电梯在地球引力场中做自由落体运动，我们也会体验到与在空旷的空间里自由飘浮时一样的失重感。(https://www.daowen.com)
回到爱因斯坦方程，让我们大胆地给时间流逝率赋予一个合适的数学名称：时移函数。换句话说，时移函数能告诉我们时间在任意给定的空间位置的流逝速率。一个类似于麦克斯韦方程组的微分方程提供了一种规则，让我们可以计算任意缓慢移动的质量存在时的时移函数。知道了时移函数，我们就可以根据最优固有时原则，来确定一个大质量物体在引力场作用下的运动轨迹。
用来计算缓慢移动质量的时移函数的微分方程，实际上是爱因斯坦方程的一个特例。另外还有9个类似于时移函数的函数，能够完全确定弯曲时空的形状，粗略地说，每一个都对应一个爱因斯坦场方程。总而言之，这10个函数组成了所谓的“时空度规”（spacetime metric）。时空度规是度量邻近两点之间的距离以及时间流逝率的标尺，一旦开始讨论度规，我们就真正地进入了微分几何领域，即对任意曲面和高维弯曲几何的研究，包括广义相对论的弯曲时空几何。
我们对普通引力的讨论可能会让你产生这样一种想法：空间完全平直，时间在不同的空间区域以不同的速率流逝。这并不完全正确。事实上，在时间流逝较慢的区域，空间会变得有些开放。要理解这句话是什么意思，请想象一下地球被包裹在一个完美的球体中，这个球体的面积已经被仔细测量过。接下来，测量球体的半径（诚然，这需要钻一个到达地球中心的洞，但假设我们有适当的超能力可以做到这一点）。在通常情况下，你会发现面积和半径满足公式A=4πr2。但A=4πr2由于地球的存在，r会比由面积A和通过计算得到的r更大一点儿，换句话说，包裹地球的球体内部的体积，会比相同表面积但内部中空的球体体积更大一点儿。如果我们只关注普通的弱引力场，大质量物体周围的空间膨胀就会像引力红移一样，是微弱的效应。事实证明，（恰当定义的）空间长度的膨胀量与时间的延缓量大致相同。现在看起来，我们之前对于落体的讨论似乎都是误导性的，因为我们曾假设引力红移是引力所能造成的唯一影响。我们只好说，这个相对于引力源缓慢移动的观测者，对时间延缓比对空间膨胀更敏感些，这样才能挽救我们的危局。我们必须假设我们现在处理的是普通引力，没有任何引力源致密到足以形成一个黑洞。但当我们把这一简化的假设抛在脑后时，就必须深入探究微分几何，才能理解到底发生了什么。
微分几何（至少是我们需要的那部分微分几何）以三个概念为中心：度规、测地线和曲率。所有这些都可以通过考量和地球表面一样的曲面来加以说明。度规很简单，因为它只与距离有关，或者说它至少乍看起来是简单的。从华盛顿到旧金山的直线距离大约是2440英里[3]，在这里直线距离指的是，如果你沿着地球表面走（或刚好在地球表面上），从华盛顿到旧金山的最短距离是2 440 英里。不过，如果作为空间点，这两座城市的距离就更近了一些，大约为2 400英里[4]。其间的细微差别来自这样一个事实：如果我们能直接穿过地球，所经距离将比在地球表面上更短。当我们在地球表面上行进时，路径必然是弯曲的。要计算走过的总距离，比较自然的方法是先把路径分成许多小段，并将每一小段都看作直线，然后把所有小段的长度加起来。“微分”一词指的是切分和测量这些小段的过程。微分几何中度规的作用之一，就是告诉我们这些小段的长度，当我们想知道路径的总长度时，我们需要做的就是把所有小段的长度相加，这本质上是一道微积分练习题。
华盛顿和旧金山之间的测地线是指对于在地球表面上的旅行者而言最短的路径。测地线并不是笔直的直线，但它和地球表面上最直的路一样直。我们所说的“直”，就是沿着地球表面的测地线从华盛顿去往旧金山，避免任何转弯。因为地球表面是弯曲的，这条最直的路线将经过比这两个城市的纬度都高的地带。一个更明显的例子是，从雅典到旧金山的长途旅行，飞机走的是极地航线，事实证明，这条最短的航线需要经过格陵兰岛，其纬度比这两个城市中的任何一个都要高得多。（当然，飞机是在地球的上空而不是在地球表面上飞行；但与地球半径相比，航线的高度是可以忽略不计的，所以在这里我们可以认为飞机是贴着地球表面飞行的。）
图2-4 圆锥体没有内禀曲率，因为只要把右图中吃豆人的形状卷起来，我们就能得到一个圆锥体。因此，当圆锥体上三角形的三条边都是测地线的线段时，其内角和为1 80 度。在把吃豆人卷起来之前画上同样的三角形，它的三条边是一般意义上的线段。与此相反，球体有正的内禀曲率，所以球体上以测地线为边的三角形的内角和大于1 80 度
在熟悉了地球表面的弯曲方式之后，曲率看上去似乎比较简单。但是，微分几何中最常用的曲率概念实际上是非常微妙的（也恰好是相对论所需要的），要欣赏它的微妙之处，我们可以想想圆锥体和球体的区别。这两者都是弯曲的，但它们的弯曲方式十分不同，一张平直的纸可以在不被拉伸的情况下被卷成一个圆锥体，但如果你试图用一张平直的纸覆盖球体，你就得把纸弄皱或撕开。因此，我们说球体是“内禀弯曲”的，而一个圆锥体是“内禀平直”的（除了圆锥的尖顶）。球体和圆锥体都有“外在曲率”，这通常指它们都是三维空间中的曲面。而在相对论中，内禀曲率才是最重要的。为了重点讨论曲面的内禀曲率，我们只关注那些能通过测量曲面来回答的问题。秉持这种态度，我们说从华盛顿到旧金山的距离是2 440英里，至于穿过地球的那条较短路径，我们连想都不会去想。
为了更好地说明内禀弯曲的几何含义，我们应该考察一下以测地线为边的三角形。在平面二维几何中，任何三角形的内角和都是180度。在像地球表面一样内禀曲率为正的情况下，三角形的内角和超过180 度。而在另外一些曲面（形状类似沙漏的颈部）上，以测地线为边的三角形内角和小于180度，这种曲面的内禀曲率为负。
现在，我们已经介绍了微分几何的主要思想，接下来让我们看看它们是在广义相对论的四维时空中得到应用的。
广义相对论中使用的度规比地球表面上的度规要复杂一点儿，因为它们要完成两项不同的任务。一项是确定两个空间分离事件之间的空间距离，另一项则是确定两个时间分离事件之间的时间间隔。两个时间分离事件之间的时间间隔，正好是一个自由下落的观测者先后观察到这两个事件之间的时间间隔。空间分离的事件更难概念化，因为从定义上讲，它们在空间上分离得如此远，以至于低于光速运动的观测者，不可能在他的参照系的同一位置同时观测到它们。对于静态时空（一个不随时间变化的时空），我们可以用从一个事件处发射的信号到达另一个事件处所花的时间，来定义两个空间分离事件之间的距离。度规对于广义相对论而言无疑是至关重要的，因为爱因斯坦方程的解就是时空度规。我们在第3章和第4章中对黑洞的讨论，将取决于施瓦西解和克尔解的特定时空度规。
正如前文中提到的，广义相对论中的一个度规包含10个函数，其中一个在本质上是时移函数，可以告诉我们时间流逝的速度。还有一个方程告诉我们空间在大质量物体存在的情况下是如何变得开放的。其余8个函数则描述了时空的各种扭曲，有点儿类似游乐园的镜子，向你展示了朝一个方向或另一个方向拉伸的图像。我们可以把这10个函数都塞进所谓的“度规张量”（metric tensor）中，通常写作g μ v。注意，不要把它与爱因斯坦张量Gμv搞混了！
相对论中的测地线也比在曲面上的复杂一点儿，部分原因是它们分为三种。第一种是类空测地线，它是两个空间分离的点之间的最短路径，类似于地球表面上从华盛顿到旧金山的直线路径。但是，观测者不能沿着类空测地线前进，因为这意味着其速度将超过光速。这似乎是无稽之谈，凭什么不能走两点之间的最短路径呢？问题在于，时空中的测地线不仅指定了你应该去的地方，还规定了你到达那里的时间。类空测地线的一个很好的例子是在一个指定的时刻闵可夫斯基时空中两点之间的一条线段，“沿着”这条测地线意味着你能够在出发的同时到达，这显然是不可能的。
第二种是类时测地线，仅受引力作用的有质量物体会自然而然地沿着类时测地线运动。艾丽丝在引力场中的弹道运动就是类时测地线的一个例子，鲍勃在远离任何引力场的空间中自由飘浮是另一个例子。当我们讨论几个不同版本的孪生子佯谬时，沿着类时测地线运动能使固有时最大化。事实上，任意弯曲时空中的有质量物体都应该遵循类时测地线，这一要求使最优固有时原则得到了充分诠释。
广义相对论中还有一种测地线，即零测地线，它是光线在弯曲时空中传播的自然轨迹。在广义相对论中，有时我们倾向于称它为“时空测地线”，以强调它们同时包含了时间和空间的信息。但大多数专业人士只称其为“测地线”，我们从现在开始也采用这种简写术语。
当从二维表面进入四维时空时，曲率变得更难以量化，但概念上仍然是相似的：当我们想知道两条测地线所成角度时，答案可能不同于平直空间中的情况，而需要通过所谓的“黎曼曲率张量”得到。爱因斯坦张量Gμv是精简版的黎曼曲率张量，它只挑出受大质量物体（或者能量、动量、压力、剪应力）影响的那些时空曲率。
至少根据目前的理解，时空不会弯曲到4个维度以外的地方去。关于广义相对论中曲率的好问题是那些可以根据四维时空中的测地线来回答的问题。我们不需要通过一些更大的环境几何来考虑“捷径”，比如穿过地球从华盛顿到旧金山的捷径。不可否认，当我们绘制引力效应下的弯曲时空图表时，我们会把它表示成一张二维薄膜，因大质量物体的存在而向下凹陷。这种描述方法使用了一个额外的维度来表示薄膜的弯曲。这是一种很好的描述，它展示了在一个大质量物体附近开放空间的方式。但就我们所知，现实世界只有四维，四维时空本身就是弯曲的，并不需要第五个维度。[5]
图2-5 地球造成的空间弯曲，通常被描绘成空间向下凹陷。空间在一个大质量物体的附近弯曲，但曲率是内禀的，与空间本身的扭曲有关，而不是把空间弯曲到了某个额外的维度
爱因斯坦场方程Gμv=8πGNTμv/c4总计有10个微分方程，对应度规张量的10个函数。爱因斯坦方程告诉我们，质量、能量、动量、压力、剪应力（所有这些都包含在Tμv中）都引起了时空弯曲。在所有的大质量物体都缓慢移动，同时压力和剪应力都忽略不计的情况下，爱因斯坦场方程中最重要的就只是与时间相关的那个方程：G00=8πGNT00/c4。之所以写G00而不是Gμv，是因为我们现在关注的是μ=0 和v=0的爱因斯坦方程，一般我们认为，μ=0代表着时间的方向，而μ=1、2或3 则指的是通常的三个空间方向。当我们处理普通引力时，方程G00=8πGNT00/c4就归结为前文中提到的计算时移函数的规则。换句话说，你只需要用G00的爱因斯坦方程，就可以完整地描述普通引力了。其余9个方程则会在更极端的情况下起作用，比如坍缩的恒星内部或黑洞附近。
简单地说，广义相对论的两大支柱是爱因斯坦场方程和最优固有时原则。用一句大家耳熟能详的话来说就是，物质通过爱因斯坦方程告诉时空该如何弯曲，弯曲时空反过来又通过最优固有时原则告诉物质该如何运动。类似地，电荷通过麦克斯韦方程组告诉电磁场该如何表现，电磁场反过来又给电荷施加作用力。
还有一种类似于电磁学的现象，即辐射。就像麦克斯韦方程组一样，爱因斯坦场方程也有一种解，它们描述了一系列以自持级联的方式穿过时空的场扰动。在电磁学中，这些场扰动是电场和磁场。在广义相对论中，它们是时空的扭曲，我们可以很容易地将它们描述为在一个空间方向上的拉伸与在另一个空间方向上的压缩。运动的质量能产生引力波，就像移动的电荷可以产生光一样。引力波一旦产生，就会以光速穿越时空。实际上，它们是时空的涟漪，类似于水面的波纹。
与光一样，引力波也携带着能量，它们已经在脉冲双星系统中被间接地探测到。这帮助拉塞尔·赫尔斯（Russell Hulse）和约瑟夫·泰勒（Joseph Taylor）获得了1993年的诺贝尔物理学奖。实际上，他们观测到的是双星系统的轨道周期正在缓慢缩短，这意味着两颗星正在相互绕转中慢慢地靠近彼此。引力辐射释放出的能量驱动了这种缓慢的旋近运动，观测到的旋近速率与广义相对论的预言相符。LIGO在2015年9月直接探测到引力波信号，揭示了双黑洞类似的旋近行为，这次观测定将成为21世纪物理学的伟大分水岭之一。
我们将在第6章深入探究引力辐射的细节。现在，让我们注意一下电磁学和广义相对论之间的一个重要区别：光波之间不会相互作用，但引力波会。比如，当两束光波相遇时，它们会直接穿过对方，并按原来的方向继续传播。相较之下，当两个引力波碰撞时，它们会相互散射，并朝着新的方向传播。对我们现有的能量探测技术而言，这种散射的趋势极其微弱，以至于今天活在世上的人或许都等不到它被成功测量的那一天。但它是广义相对论不可否认的一部分，事实上，这就是造成广义相对论与量子力学难以融合的主要原因之一。问题在于，引力波的自散射作用在极高能量下将变得很强，我们不知道在如此强的自散射情况下如何应用量子理论。弦理论以优美的方式解决了这个问题，但讨论它会导致我们偏离主要目标。总之，我们已经学习了广义相对论，现在开始探索黑洞吧！
【注释】
[1]以太听起来似乎不太切合实际，但在历史上人们曾严肃地讨论过这个概念。事实上，LIGO探测器的设计与迈克尔逊干涉仪的结构有很大的关联。在19世纪末期，迈克尔逊干涉仪被用来精确测量光在不同方向上的速度，从而辨识地球相对于以太的运动。
[2]你可能会担心初始加速度会对固有时产生很大的影响。事实上，最优固有时原则告诉我们，关键是去比较具有相同的初始位置和最终位置，但初始速度不同的运动轨迹。为了准确地描述孪生子佯谬和它纳入引力后的版本，我们应该允许艾丽丝在计时开始时有一些初始速度。同样，当她回到鲍勃那里时，她也可以有一些最终速度。在她一回到鲍勃那里时我们就停止计时，这样一来，我们就不必担心她如何刹车的问题了。
[3]2 440英里≈3 926.8千米。——编者注
[4]2 400英里≈3 862.4千米。——编者注
[5]很多现代理论的发展都依赖于第五维度，或者更多维度的存在。但是，四维时空的内禀曲率对于我们研究常见的引力作用已经足够了。
