第3章 施瓦西黑洞
在学习了狭义相对论和广义相对论之后，现在我们准备好正面迎接黑洞的挑战了。我们先从施瓦西黑洞入手。简单地说，施瓦西黑洞描述了时空对质量点的响应。通过使用“响应”这个词，我们暗含了物质告诉时空如何弯曲的思想，这一思想贯穿于爱因斯坦场方程Gμv=8πGNTμv/c4中。度规张量的10个函数用数学语言描述了弯曲时空。爱因斯坦场方程表明，随意给定的10个函数不足以得到解；函数必须在整个空间和时间中以正确的方式变化，才能够得到场方程的解。德国天文学家和物理学家卡尔·施瓦西于1916年公布了著名的施瓦西解，实际上早在他1915年12月给爱因斯坦写的一封信中，他就已经找到了这个解，在爱因斯坦完成了场方程的构建后不久。
施瓦西解非常难以理解。就连爱因斯坦似乎也没有领会它的一些要点，特别是视界的平滑度。既然如此，这颗引力的黑珍珠又是如何轻易落入施瓦西手中的呢？
在施瓦西得到施瓦西解之后又大约过了50年，其物理意义才清晰地显现出来。我们已经解释了其物理意义的某些方面，比如没有任何信号可以从视界中逃逸，以及在视界中时间径向地指向内部。对于天体物理学来说，理解大质量物体在施瓦西黑洞的引力作用下的运行轨道是非常重要的，我们将在这一章用较多的篇幅来描述这些轨道，以及在遥远的观测者看来这些轨道会是什么样子。我们也将尽可能地（在没有任何实验验证的情况下！）解释，对于一个落入施瓦西黑洞的物体，我们认为一定会发生什么。最后，我们将讨论施瓦西黑洞的令人惊讶的两个特征——白洞和虫洞，它们可能与恒星发生引力坍缩形成的黑洞无关，但却是关于施瓦西解的现代理解中不可或缺的一部分。在此之前，我们先尝试直接回答这个问题：施瓦西度规是什么？
远离视界的施瓦西度规，与我们在第1章中介绍的闵可夫斯基度规非常相似。换句话说，遥远的时空几乎是平直的，那里的观测者用狭义相对论就可以充分描述他们的运动，以及相对运动效应，比如时间延缓和长度收缩。正如第2章解释的那样，因为时间延缓效应的存在，越靠近视界，时间的流逝速度就越慢。又如前言所述，时间在视界处会完全改变性质，鉴于这种情况十分复杂，让我们暂时把注意力放在视界外的时空区域上。在那里，时间延缓可以用一个时移函数来描述，时移函数是施瓦西度规的一个组成部分。施瓦西度规的其余部分描述了引力在黑洞周围创造的三维弯曲空间。我们可以把空间的三个维度看作一个径向方向再加上两个角度方向，沿径向方向移动意味着径直远离黑洞或者靠近黑洞，沿角度方向移动则意味着以恒定的半径绕黑洞旋转。
施瓦西解中的半径可能会让人感到困惑，因为我们根本不能从黑洞的中心测量它的半径，黑洞的中心是隐藏在事件视界后的一个奇点，它会摧毁任何触及它的物体。计算半径的正确方式是测量以奇点为圆心的圆周长。这个圆可以完全位于视界之外，或者恰好在视界上，甚至可以在它的内部。如果在视界之外，我们可以做一个思想实验，来测量圆周长。这个实验需要很多观测者，他们分别是艾丽丝、鲍勃、比尔、布鲁斯、巴尼等人，最后一个是伯特。他们每个人都驾驶着飞船，在圆周上的各个点上悬停。我们给他们每人一束激光，并额外给艾丽丝一个秒表。我们让艾丽丝给她的“邻居”（比如鲍勃）发射一束激光脉冲，同时启动她的秒表计时。鲍勃一收到艾丽丝的激光脉冲后就马上转身，向比尔发出一束一样的激光脉冲，比尔随即向布鲁斯发出一束激光脉冲，以此类推。最后，伯特向艾丽丝发出一个信号，她收到时便立即停止计时。将艾丽丝的秒表记录下的时长乘以光速，我们就可以合理地得到圆周长。用圆周长度除以2π，即可得到半径。
图3-1 施瓦西解中的径向方向和角度方向。在视界外，这三个方向就是空间的三个维度。在给定的半径下，以黑洞为中心的圆周长为2πr
在精确地将半径定义为圆周长除以2π之后，我们可以回顾一下第2章描述过的一个现象：空间在时间变慢的地方变得开放了。假设我们有一个正好为一倍太阳质量的黑洞，视界半径为3 千米。现在，我们来考虑以奇点为中心的两个圆：一个半径为10千米，另一个半径比10千米多1米。依照前文的讨论，我们所说的“半径10千米”指的是周长为2π乘以10千米的圆的半径；第二个稍大一点儿的圆也是如此。在平直的空间里，这两个圆之间的距离刚好是1米。这意味着你只需要沿径向方向向外走1 米，就能从第一个圆走到第二个圆。而在施瓦西解中，从半径为10千米的圆出发，你需要走的距离会略多于1米，大约是1.2米。接下来，出现了一个很有趣的事实：因施瓦西解中引力红移而减缓的时间，其因子与描述半径被拉伸的因子完全相同。换句话说，描述时间流逝快慢的时移函数与另一个度规函数成完全相关关系，这个度规函数描述的是，相对于你在平直空间中打算前进的距离而言，你需要额外向外走的距离。
在前面的几个段落中，我们几乎已经解释了原始施瓦西解的所有方面，只剩下一个方面需要描述，那就是时移函数的精确形式。在远离视界处，时移函数是1，表示时间以我们习惯的平直时空的标准速率在流逝。视界处的时移函数是0，这意味着一般意义上的时间在那里停止了。事实上，这是了解视界究竟是什么的一种途径。从视界到无穷远处，时移函数在0和1之间平滑地变化。它是怎么做到的？答案是：时移函数的形式是1减去一个常数除以半径的平方根。这有点儿拗口，让我们把它写下来：
其中，N是时移函数，r是半径，而rs是视界的半径，叫作施瓦西半径。出于一些原因，这里施瓦西半径就等于黑洞的质量。所有这些具体的信息都是施瓦西通过求解爱因斯坦方程得到的。
施瓦西解的一个令人不舒服的特点是时移函数在视界处变为0，相应地，径向长度也被无限拉伸。这在过去一直被视为施瓦西度规的一个弊端，事实上，它是由我们用来描述时间和半径的坐标造成的。这些坐标最适合描述悬停在视界外的固定位置的观测者。我们讨论的时移函数还描述了引力红移，这也是对于悬停在固定位置上的观察者而言的。视界处的时移函数为0，这实际上也是在告诉我们没人能在黑洞的视界处悬停。如果非要从一个不可能的视角来看，那就难怪度规是奇异的！但如果从一个做自由落体运动并掉入黑洞的观测者的角度来描述施瓦西度规，视界处就不会有任何的奇异性或不寻常的地方。我们可以通过一种类似于洛伦兹变换的坐标变换，找出悬停的观测者和自由落体的观测者之间的差别，但这种方法更加复杂。坐标变换会将半径和时间糅合在一起，之后施瓦西解在视界处将变得非常平滑，只不过黑洞中心的奇点仍然存在。
施瓦西解就在我们身边——确实如此！地球的引力场十分近似于施瓦西弯曲时空度规。事实上，任何完美的球形质量分布之外的时空度规都可以由施瓦西度规精确地给出。由于地球是自转且不完美的球状天体，我们还会感受到其他天体（尤其是月球）的引力，所以在地球上（更准确地说，在地球表面之上），会与施瓦西度规出现一些偏差。
如果我们被施瓦西度规包围，这是否意味着黑洞视界就潜藏在我们脚下，靠近地球中心的某个地方？很幸运，答案是：不！施瓦西解只描述了地球表面以外的时空几何。而在内部，我们需要用爱因斯坦场方程的另一个解，它是不包含奇点的（事实上，在地球中心，时空几何几乎是平直的）。在施瓦西计算出施瓦西解的年代，人们所知道的所有行星和恒星都比它们对应的施瓦西半径大得多，所以很容易假设真实物质的性质不会让恒星致密到半径接近施瓦西半径的程度。尽管许多人多年来一直在试图论证这种假设是错误的，但直到20世纪60年代这种努力都没有成功。但自从黑洞的概念进入理论物理学的主流之后，这一假设终于被推翻了。
施瓦西解的一个自相矛盾的特征是，虽然它被视为时空对一个质量点的响应，但实际的质量点并不是施瓦西度规求解的方程的一部分。准确地说，施瓦西度规解决的是真空中的爱因斯坦场方程Gμv=0，也就是说没有任何物质存在，至少在视界外如此。在视界内一直到半径为零处，施瓦西公式都可用，而且确实解决了真空中的爱因斯坦场方程。而在半径为零处，施瓦西度规变成了令人厌恶的无穷大。从任何观测者的角度，这看起来都令人不愉快，所以这是一个比前文中描述的视界处的奇异性更严重的问题。我们或许可以把这个中心奇点看作集中了黑洞所有质量的位置。但请记住，“位置”并不是恰当的词汇，“时间”更佳，因为在视界之内，半径即时间，我们将在下文中做更多的解释。更有可能的是，广义相对论甚至几何本身都不能很好地描述中心奇点附近的引力，所以我们还需要一些其他理论，比如像弦理论那样的量子引力理论。
让我们回顾一下迄今为止我们对黑洞的描述。施瓦西对爱因斯坦场方程的求解回答了质量点如何弯曲时空的问题，其结果是时空形成了黑洞。在远离黑洞处，时空只是轻微地发生弯曲，我们可以通过时移函数来理解发生了什么，离黑洞越远，时间流逝的速度也会略微变快，这时牛顿的引力理论就可以被派上用场了。但这种方法在施瓦西半径处完全失效，在那里停留的观测者测量的时间相对于远处的观测者的时间是静止的。一开始人们认为这是施瓦西解的缺陷，甚至是爱因斯坦理论的缺陷，但最终我们意识到它想告诉我们的是，让观测者待在视界处是没有意义的。继续往里走，观测者最终会遇到曲率奇点，直到今天我们尚未完全理解它。接下来，我们将通过追问在黑洞周围运动或掉入黑洞的观测者和物体发生了什么，进一步探究施瓦西黑洞。我们甚至会考虑邻近奇点的破坏性区域。
让我们从早于施瓦西解的历史说起吧。爱因斯坦知道，天文学领域的一个突出难题就是水星近日点的进动问题。所谓近日点，是轨道上最接近太阳的点。开普勒定律和牛顿引力允许水星轨道呈轻微的椭圆形。但是，水星椭圆轨道的长轴会与近日点一起，沿着水星的公转方向绕着太阳慢慢地进动。在此之前，这种进动已经被广泛研究过，在爱因斯坦生活的年代，人们认为这种进动应主要归因于其他行星的影响。但棘手的是，即使在考虑到牛顿引力的所有影响之后，仍然存在一个非常小的差异无法解释。为了强调这种差异是多么微小（以及19世纪的天文观测已经有多么精确），我们用以下数字来说明：水星轨道每个世纪进动574角秒，牛顿力学贡献了约每个世纪531角秒。余下的每43角秒就是差异所在，这意味着水星每运行一圈，其椭圆轨道的长轴就会变化约1/35 000度。在施瓦西发现爱因斯坦场方程的精确解之前，爱因斯坦已经找到了一个足够好的施瓦西解的近似解，来精确地解释太阳引力场中的行星运动。当他将这个近似解应用于水星轨道时，得到了与异常岁差一致的结果。在通往1915年场方程最终形式的路上，爱因斯坦有许多正确的见解，也有一些失败的尝试，但这个结果无疑是一个灵光乍现的时刻，使他确信自己发现了正确的相对论引力理论。
使用精确的施瓦西度规我们可以发现，黑洞周围的许多大质量天体的运行轨道，都与牛顿引力理论所推导的椭圆轨道不同，其差别远比水星轨道的细微进动要大。然而，爱因斯坦早期的计算为描述这些轨道特征做好了铺垫。让我们放弃太阳系，走向银河系的中心，那里潜伏着一个巨大的黑洞。这个怪物相当于400 万倍太阳质量，它不是一个真正的施瓦西黑洞，而是一个旋转的克尔黑洞——一种更复杂的天体，我们将在第4章中介绍它。但对于目前的讨论，让我们做一些大胆的想象，假设银河系中心的怪物实际上就是一个施瓦西黑洞；同时，我们也会忽略它附近可能存在的其他质量。这个黑洞的施瓦西半径大约是1 200万千米。我们勇敢无畏的观测者艾丽丝和鲍勃，决定将他们的宇宙飞船停在距离黑洞1.5 亿千米的圆形轨道上，也就是地球绕太阳公转的轨道上。因为黑洞的引力比太阳的引力强得多（前者大约是后者的400万倍），所以艾丽丝和鲍勃沿圆形轨道运转的速度要比地球绕太阳的运转速度快得多，运转一圈实际需要花费大约4个小时。在这个位置上，时间延缓效应使他们的时钟比遥远的观测者慢4% 。
接下来，艾丽丝登上了一艘小型航天飞机。在脱离主宇宙飞船后，她的计划是短暂地启动发动机减慢角度方向的运动，然后关掉发动机，享受狂野的旅程。与此同时，鲍勃承诺将继续留在主宇宙飞船中，并观察接下来发生的事情。为了帮助鲍勃追踪她的进程，艾丽丝在她的航天飞机上装了一个闪光灯，它每秒闪烁一次黄光。
图3-2 一个圆形轨道（实线）和一部分相对论的进动椭圆轨道（虚线）。一个非相对论性的牛顿力学轨道（未画出）将呈现为单一的椭圆，因此，可以认为相对论性的进动使得这个静止的椭圆随着时间旋转，如图中所示
这个思想实验的重点在于，一旦艾丽丝关闭了发动机，她的运动轨迹就将成为施瓦西黑洞几何中的测地线。因为她的初始速度小于维持圆形轨道所需的速度，所以她的轨道肯定会在某种程度上向着黑洞倾斜。如果此时艾丽丝猛地启动发动机，使她的航天飞机能够完全停住，那么她随后的运动就是径直冲向黑洞，最后被事件视界吞噬。显然，艾丽丝是一个冒失鬼，但她也不喜欢这种结局。所以，她保留了一些初始角速度，期望可以在黑洞周围绕一圈，再滑回原来的半径位置，一旦回到了那里，她就能够返回主船上，或者可以再次降低她的角速度，然后重新出发。
关于艾丽丝轨道的第一个要点是：轨道会疯狂地进动，越向着黑洞倾斜，进动就越多。即使是一个适中的椭圆轨道，它的进动也会比水星绕太阳轨道的进动大得多。因为从绝对意义上说，艾丽丝和鲍勃开展冒险活动的这个地方的引力，比太阳系中的任何地方的引力都要大得多。艾丽丝和鲍勃观测到的进动同样可以用爱因斯坦解释水星轨道进动的计算方法来解释，只不过他们得到的结果会更明显一些。
在尝试过不同的轨道后，艾丽丝最终发现，她可以按自己所想来控制轨道的进动。至于她是如何做到的，请往下看。艾丽丝从主宇宙飞船出发，仔细地调整她的初始速度，使得在发动机关闭后，她的轨道可以向黑洞倾斜至最小半径处，即稍大于两倍的施瓦西半径的位置。如果她的初始速度调整得恰到好处，她会向着黑洞下降，然后绕着黑洞旋转很多圈，最后回到她出发的位置。用专业术语来说，这种运动叫作“变焦-旋转轨道”。艾丽丝把变焦-旋转轨道看作终极过山车。她一路做自由落体运动，而在旋转阶段，她的速度非常快，大约能达到光速的2/3。麻烦的是，艾丽丝正在玩的这场游戏十分危险。如果她的初始速度太小，轨道就会倾斜至两倍施瓦西半径以内，她也将掉入黑洞，除非她在到达视界之前借助航天飞机发动机的紧急加速装置向外逃跑，否则一切都玩完了。
图3-3 一个变焦-旋转轨道
在较高的初始位置处体验了几次变焦-旋转轨道后，艾丽丝试图劝鲍勃下降至一个更近的轨道，让他也能迸发出冒险的激情。然而，鲍勃是一个保守的家伙，在不启动火箭发动机的情况下，他唯一愿意尝试的轨道就是圆形轨道。艾丽丝发现了一件相当古怪的事情：鲍勃的轨道越靠近黑洞，她在变焦-旋转轨道上就需要待在离视界越远的地方，否则就需要紧急加速逃命。最终，当鲍勃到达三倍的施瓦西半径的位置时，艾丽丝飞入和滑出的游戏就玩不了了。即使她的初始速度只是略微低于鲍勃的速度，她也会被卷入引力阱中，不得不启动紧急加速装置以避免被黑洞吞噬。鲍勃现在所处的轨道就是所谓的“最内稳定圆轨道”（ISCO）。虽然还存在更小半径的圆形轨道，但这些轨道都不稳定，这意味着即使最微小的扰动也会使轨道掉入黑洞。鲍勃拒绝到这些更小的轨道上去，这些轨道本质上就是艾丽丝在变焦-旋转游戏的旋转阶段的飞行轨道。
现在我们想知道，当艾丽丝表演她的特技飞行时，鲍勃看到的她飞机上闪烁的黄色信号灯是什么样子。为了回答这个问题，我们需要退后一步，先讨论一种被称为“多普勒频移”（Doppler Shifting）的效应，这种效应即使在没有重力的情况下也会发生。事实上，多普勒效应甚至连狭义相对论都不需要。当你听到向你驶来的救护车的警笛声时，其音高在救护车经过你身旁时会明显地降低。简单来说，我们可以想象一下，现在救护车发出的不是正常的警笛声，而是一种特定音高的纯音。比如A调，它高于中央C调，频率约为440赫兹，即声音每秒振动440次。假设救护车以1/10的声速行驶（这个速度对救护车而言算相当快了，约为每小时124千米）。当救护车靠近时，你听到的音高会比440赫兹高大约10%。当救护车从你身边驶过时，你听到的音高又会比440赫兹低大约10%。这种音高的变化就是多普勒效应。原因在于：当救护车靠近你时，每一个连续的声波振动都会比前一个更加接近你。因此，当这些声波振动向你移动的时候，它们会有点儿“拥挤”，并且与救护车静止不动时相比，它们接近你的频率更快。光在狭义相对论中也有类似的现象。如果没有任何引力场，并且艾丽丝径直向鲍勃飞去，她的黄光信号灯的电磁振动对鲍勃来说就显得更加拥挤——波长越短，频率越高。这意味着黄光会发生某种程度的蓝移。反之，如果艾丽丝飞离鲍勃，黄光对鲍勃来说就会发生某种程度的红移。以此类推，如果艾丽丝向鲍勃飞去，她每秒（根据她的时钟）发送一次闪烁信号，那么鲍勃会看到频率高于每秒一次的信号。反之，如果她飞离他，那么鲍勃会看到频率低于每秒一次的信号。看起来多普勒效应似乎会与狭义相对论中的时间延缓效应发生混淆，事实也确实如此，但完全正确的相对论性处理方案就是上文中描述的那样。
当艾丽丝进行变焦-旋转轨道表演时，引力造成的时间延缓也会对到达鲍勃的光线产生红移效应，而且这个红移效应将大于光线的多普勒频移。如果鲍勃要向艾丽丝发射一束光线，那么它将发生引力蓝移。这些引力效应完全是由引力阱中不同深度的时间流逝速率的不同造成的，它们是第2章中介绍的庞德-雷布卡实验背后现象的变体。除此之外，另一个复杂的因素是，艾丽丝的黄色信号灯的光子在去往鲍勃处的途中或多或少地会沿复杂的轨迹传播。最简单的情况是，艾丽丝在信号灯闪烁的时候正好位于鲍勃的正下方，比如恰好到达一次旋转的中间点，然后光子或多或少会直线上升至鲍勃的位置，并在引力的作用下稍微有点儿红移。[1]但是，如果艾丽丝在信号灯闪烁时，与鲍勃恰好位于黑洞的两侧，那么信号灯的光仍然可以被鲍勃接收到，但前提是这些光子必须绕开黑洞！令人惊讶的是，这竟然是有可能的。爱因斯坦甚至预料到了这一点。确实，另一个关于相对论的早期验证（正是这个验证使爱因斯坦声名远扬），就是1919年全日食期间的星光偏折观测。造成星光偏折的原因与艾丽丝的信号灯光子可以避开黑洞到达鲍勃的原因一样，只不过前者的效果更弱。但光子能做到的不只是这些！信号灯的光子还可以像艾丽丝一样找到特殊的轨道，从而绕行视界，甚至是绕行好几圈，再向上到达鲍勃的位置。理论上，光子可以在1.5倍施瓦西半径的轨道上绕黑洞无限旋转下去。[2]这个圆形轨道被称为“光环”（light ring），是不稳定的。然而，黑洞的这个特性是它具有明亮的环状轮廓的原因，这个轮廓勾勒出了射电望远镜目前正在捕捉的黑洞“阴影”，我们将在第5章的结尾部分简要地介绍一下。
简言之，鲍勃看到的每个来自艾丽丝的航天飞机的光脉冲，都既受到引力红移的影响，又受到多普勒红移或蓝移的影响。此外，他还会看到每个光脉冲都有弱回波，对应于在黑洞周围绕行了一圈甚至更多圈才逃离的光子。最大的红移足以使光子完全移出可见光谱并进入红外波段，最大的蓝移则足以使光子从可见光谱的蓝端移出。总之，鲍勃会看到彩虹的全部7种颜色！
我们徘徊在黑洞视界外的时间已经足够长了，现在是时候穿过它了。艾丽丝和鲍勃都想让对方去做这件事，但两个人都明智地拒绝了。作为替代，他们打算发射一个卫星探测器。简单起见，他们回到半径为1.5亿千米的圆形轨道，并在那里发射了探测器。探测器以静止状态出发，没有做变焦、旋转之类的运动，而是径直向下进入黑洞。他们把艾丽丝的黄色信号灯安装到该探测器上，以便观测发生了什么。由于引力效应和多普勒效应的共同作用，他们接收到的光脉冲频率低于每秒一次，并且被红移了。在从1.5亿千米半径的初始位置到达最内稳定圆轨道的过程中，做自由落体运动的探测器将记录下2 638秒的时间，再经过122秒到达视界。然后，按照经典的广义相对论，它将悄无声息地瞬间穿过视界。事实上，不会发生什么特别的事情让它得知它穿过了视界。艾丽丝和鲍勃也永远不会看到它穿过视界的那一瞬间，因为在它靠近视界的过程中，时间延缓将变得无限大。换言之，信号灯发出的每个光脉冲需要花费越来越长的时间才能到达他们，并且最后一个光脉冲会在某个时间点恰好在视界外发出。无论他们设置的脉冲间隔有多短，事情都会如此。但是，我们坚持每秒一个光脉冲的计划，并利用探测器上的秒表来测量时间间隔。假设我们设法使探测器的一个光脉冲正好在它穿过视界的一瞬间发射出来，那么这个光脉冲永远也不会被艾丽丝和鲍勃看到，但在它之前的所有光脉冲都可以被接收到。他们能够看到的最后一个光脉冲会在探测器发射后的第3 741秒时被接收到，倒数第二个则会在第3 686秒时被接收到。因此，从艾丽丝和鲍勃的角度看，倒数第二个和最后一个光脉冲之间的时间间隔已经长达55秒。而且，最后一个光脉冲和倒数第二个光脉冲的波长将分别被红移79倍和40倍。如果探测器发出的这些光脉冲是波长为570纳米[3]的黄色光，那么它们将作为波长分别为45微米[4]和23微米的红外光被鲍勃和艾丽丝观测到。(https://www.daowen.com)
引力的时间延缓（我们也称之为引力红移）与时移函数的倒数成正比，时移函数在视界上趋于0，因此在那里时间将无限延缓。这就是探测器在视界处发出的光脉冲永远不会被艾丽丝和鲍勃接收到的原因，之后的光脉冲就更不可能被接收到了：在视界以内，时间延缓“超越了无限”。但是，这种说法究竟是什么意思呢？做自由落体运动的探测器在视界处并没有注意到任何异常，但如果探测器试图从视界内加速退出去，它注定会失败。无论用多么强大的推动力，探测器都不能返回视界处，它甚至不能停止向黑洞核心运动。这是我们在前言中强调过的黑洞内部的命运。随时间增加，它只能径向向内移动。没有任何力量可以把物体从黑洞中拉出来，也没有什么力量可以让我们回到过去。一旦探测器穿过视界，探测器的光子就只能往黑洞内部掉落。黑洞内部的时间与外部是完全不同的，从这个意义上说，时间延缓确实已经“超越了无限”。视界内的时间向黑洞中心运行，在那里奇点控制了未来。
视界内的时间对于黑洞物理学来说如此重要，以至于我们将使用微分几何的语言，以便更精确地说明这一点。回顾一下，时空度规有两项任务：一是告诉我们两个时间分离事件之间的固有时，二是告诉我们两个空间分离事件之间的固有距离。写出一个时空度规的公式，就可以一次性地完成这两项任务。技巧在于，要在公式中写下两个临近事件之间距离的平方，而不是距离。如果距离的平方是正数，这两个事件就是类空间分离的。相反，如果距离的平方是负数，它们就是类时间分离的，我们认为距离的平方实际上就是事件之间固有时的平方的相反数。在施瓦西解中，就像在任何爱因斯坦方程解中一样，度规的公式（基于时移函数、径向拉伸等）实际上就是这些距离平方公式之一，它可以得出正值也可以得出负值。在径向方向上略微分离的两个事件之间距离的平方，在视界外是正数，在视界内则是负数。最后一点很关键：距离平方是负数意味着事件是时间分离的。换句话说，半径变得像时间一样，而时间变得像空间一样。虽然这些听起来很奇怪，但用到的施瓦西几何的曲率中并没有什么有趣的东西。相反，时间和半径的一般概念在穿过视界时被重置了。
尽管在视界内时间和半径混在了一起，但我们关于施瓦西解中半径的初始看法仍然是有效的：即使在黑洞内部，半径仍然可以理解为以原点为中心的圆周长除以2π。换言之，施瓦西解中任意给定半径的球体，其面积都是半径平方的4π倍，这与我们在学校学到的公式是相同的。但在黑洞内部，这个公式的真正意义却是惊人的：我们已经知道，在那里半径即时间，所以我们所说的球体指的是在一个固定的时间点两个角度方向上的全部空间。随着时间的推移（即半径向内移动），球体变得越来越小，最终成为奇点。
当朝着奇点进发时，我们会发现需要解释一下潮汐力。正如牛顿知道的那样，我们在地球上看到的海洋潮汐是由月球对地球的引力拉拽产生的。[5]地球靠近月球的一端受到的月球引力比远的一端强，这种不均匀的力使地球在朝着月球的方向上被稍稍拉长了。整个地球都能感觉到这种拉力，但海洋会产生更强烈的反应，因为水是流动的。来自月球的潮汐力仿佛将地球的远月端拉离月球，同时将地球的近月端拉向月球。这似乎违背我们的直觉，因为我们知道引力是纯粹的吸引力。但重点在于，刨除月球对地球的平均拉力之后，剩余效应是潮汐力。平均拉力略微改变了地球的轨道运动，潮汐力则稍稍拉伸了地球。
图3-4 从事件视界外观察正在逐渐落入黑洞的探测器
当探测器穿过视界时（见图3-4和图3-5），它原则上就已经受到了潮汐力的作用，但并不是特别强，因为黑洞非常大，而探测器本身却很小。当探测器穿过视界刚好一米时，情况在黑洞内部迅速地发生变化。正如我们讨论过的那样，一旦探测器进入视界，再大的加速度都不能使探测器避免落入奇点的命运。事实上，如果我们希望探测器能够在它的厄运来临之前拥有最长的固有时，那么我们最好不要让它加速，而是待在测地线上。它将在穿过视界后的第27秒左右抵达奇点。当探测器接近奇点时，黑洞内的潮汐力将迅速增加，在探测器撞上奇点之前的大约10微秒到100微秒（准确的数字取决于我们用来建造探测器的金属强度）时就会四分五裂。越来越强的潮汐力把探测器撕成更小的碎片，直至将其剥离为原子。但事情并不只是这样，很快，潮汐力就会增强到足以将所有电子从原子核上剥离下来，再将原子核分解成自由的质子和中子，然后又分解成夸克和胶子。我们确实不能保证接下来会发生什么，因为据我们所知，夸克、胶子和电子已经是点状的了。但我们可以确定，三维空间的两个角度方向会在接近奇点的过程中缩得越来越小，而那个空间方向——对应于黑洞外被我们称作时间的东西——则被沿径向方向拉得越来越长。相应地，包括我们的探测器在内的所有东西都会被挤压成一条无限长的细线。
现在看来，我们似乎已经从头到尾地探索了施瓦西解。这真是一个奇迹，它以一种简单、精确的方式描述了我们生活的弯曲时空几何的特点，同时给出了银河系中最重的天体，即位于银河系核心处的巨大黑洞周围的时空几何的近似描述。施瓦西黑洞本身是完全静止的，就像一只潜伏在曲面几何网中心的蜘蛛。正如我们知道的那样，离视界太近的物体一定要奋力逃跑，任何穿过视界的东西很快就会被奇点毁灭成你能想象到的最细小的物质流。
图3-5 从事件视界内的视角观察正在落入黑洞的探测器。在视界内部，探测器随着时空的坍缩而被毁灭。随着“时间”从事件视界r=rs处向奇点r=0 前进，探测器沿一个空间方向（“t”）延伸到∞，并在另外两个空间球面方向上被压缩到0
事实上，这不是关于施瓦西解的故事的结局。施瓦西度规有一个与时空的黑洞部分相反的另一面，它被称为“白洞”（white hole）。对于白洞而言，从奇点出发，时间的流动将所有空间从奇点中拖拽开来，让所有东西都穿过单向边界到外面去。一旦出去了，你将永远无法返回白洞。白洞之所以必然是施瓦西解的一部分，其原因可以从以下显而易见的悖论中找到。除了在奇点处，测地线严格来说是“完整的”：作为时空中的最优轨道，它们没有开始或结束。对于粒子测地线或光子测地线而言，从任何点出发总会有一个前进或后退的路径。唯一失效的情形是通向奇点的测地线，这时就需要用量子引力理论来解释发生了什么。当然，非引力性作用力可以使粒子沿着不是测地线的轨道移动，但是作为时空中的路径，测地线总是在那里。比如，如果你坐在自己最喜欢的咖啡店的椅子上阅读这本书，那么你不会沿着测地线运动，因为椅子和地面施加在你身上的力阻止了你这样做。但是测地线仍然存在，而且穿过地面指向地球中心，那些不受其他外力作用的粒子或物体，比如中微子，还将沿着测地线运动。
以所有这些为背景，施瓦西时空中出现了一个明显的悖论。从向黑洞中心发射的探测器上发出的光子，始终沿着测地线运动，直到被艾丽丝和鲍勃看到。这条测地线是完整的，不仅延伸到发射点，还会一直延伸到施瓦西半径甚至视界内的地方。让我们换一种角度思考，假设我们从艾丽丝和鲍勃看到光子的时间点开始回溯它的路径，它会向着更小的半径移动，并且在过去的某个时刻返回到探测器的位置，此时光子的生命就结束了，因为这也是它的发射源。但是，这条测地线并没有结束，它会继续向着更小的半径前进，原则上没有任何东西能阻止真实的光子沿着这条路径运动。该路径一直延伸到视界，而且因为施瓦西半径处没有奇异性，它甚至可以穿过视界并延伸到更小的半径处。我们知道没有什么东西能从黑洞中逃逸，但是这条测地线似乎提供了一条逃生通路，这就是悖论。
对这个明显的悖论的解释是，这条测地线并非来自施瓦西度规的黑洞部分，而是来自时空的完全不同的部分——白洞，在那里其时空的流向与黑洞完全相反。白洞的内部指的是径向坐标小于施瓦西半径的地方（或许应该是“时候”），在那里，时间的流逝意味着运动到更大的半径。因此，里面的东西不会被困住，只会被赶出视界，且没有机会重新进入白洞。白洞的零半径处也是一个奇点，但潮汐力与黑洞相反：细线被挤压并拉伸成球体。
白洞在哪里？更确切地说，应该是在什么时候？答案是：白洞出现在过去，事实上，是任意遥远的过去。同样地，黑洞是未来的一部分，它将永远存在（忽略量子效应）。如果这种说法令人困惑，另一种思考白洞和黑洞问题的方法，就是用宇宙大爆炸来做类比。在爱因斯坦的引力理论中，大爆炸是我们的宇宙“开始”的一个奇点（就像黑洞的奇点一样，广义相对论在大爆炸的奇点处失效，所以那里究竟发生了什么，至今还是一个谜）。尽管我们可以看到我们周围各处的来自大爆炸的光子，它们形成了宇宙微波背景辐射，但我们显然永远也不能回到大爆炸——它不是一个地方，而是过去的一个时间段，它留给我们的是一个膨胀的宇宙。同样地，让我们大胆地想象，假设施瓦西解描述了一个以白洞开始而以黑洞结束的时空。从外部观察，任何在白洞中产生的光子似乎都来自现在变成了黑洞的空间区域。光子的确是这样，但当它们向外流向施瓦西半径，并最终穿过施瓦西半径时，黑洞并不在那里，而只有白洞。
图3-6 对施瓦西解的全部黑洞/白洞性质的描述。从外部观测者的角度（在这种情况下就是飞船上的观测者视角），所有外行零测地线都来自过去的白洞；所有内行零测地线都将在未来落入黑洞。然而，无论哪种类型的测地线都不可能穿过白洞视界或事件视界，因为这些都只在对于观测者而言的无穷远的过去或未来才会发生。由探测器发射的光子跳到外行零测地线轨道上，并沿着这条路径运动直到它被观测者看到
为了加深对施瓦西黑洞的理解，我们已经探索了大质量物体（比如艾丽丝的航天飞机或不幸的探测器）和光子的许多可能的轨迹。所有这些路径都可以被称为“因果路径”，原因在于，只要时空中的两个事件都处在同一条因果路径上，第一个事件就可能影响在它之后发生的第二个事件。如果考虑到非因果路径，我们对时空的看法就会得到拓展，继而发现施瓦西解的另一个显著特征。它就是所谓的“虫洞”或爱因斯坦-罗森桥，它连接着艾丽丝和鲍勃居住的外部世界和另一个具有相同几何结构的外部世界。在后一个世界中，与艾丽丝和鲍勃兴趣一致的冒险家艾丽西娅和布拉德利也对他们的黑洞做同样的实验，并且得出与艾丽丝和鲍勃一致的结论。然而，双方都不知道对方的存在，因为这两个世界之间唯一的连接是无论有质量还是无质量的粒子都不能遵循的黑洞或白洞内部的非因果路径。换句话说，这两个外部世界在因果关系上是彼此不相连的，但内部却是重叠的。虫洞被视为连接宇宙中相隔极其遥远的两个地点的桥梁，这个看法是大量科幻小说之源。麻烦的是，从实际意义层面来说，非因果地连接相隔遥远的时空区域，根本不会使它们真正地被连接起来。非因果关系恰恰意味着没有任何东西可以从一边到达另一边，即虫洞是不可穿越的。在广义相对论中，场方程有可穿越虫洞的解，但都需要“奇异物质”，而这种物质尚未被发现，或者根本不存在。我们将在第7章的结尾讨论“普通”虫洞，也就是不可穿越的虫洞究竟意味着什么。
尽管视界内充满着混乱和暴力（更不用说另一个世界了），但外部的观测者甚至连里面的声响也丝毫察觉不到。事实上，黑洞的一个更加一般的性质是“无毛定理”（nohair theorem）。在本章中，我们主要关注一种特殊类型的黑洞，即不旋转的施瓦西黑洞。接下来，我们会介绍旋转的黑洞（叫作克尔黑洞）和带电荷的黑洞。那么你可能想知道，究竟有多少种黑洞？答案是：一旦你知道黑洞的质量、电荷和自旋，就可以准确地知道整个黑洞的性质。这个令人印象深刻的无毛定理有时也被称作“唯一性定理”（uniqueness theorem）。在这里，唯一意味着如果我们指定质量、自旋和电荷的参数，就可以得到一个且仅有一个黑洞视界。“无毛定理”一词源于一个幽默的思考，即如果存在非唯一的视界，它们可能会是一些什么形状。黑洞也许有山包、山脉、凹坑或山谷，在这种假设下黑洞视界特征的泛称应该是什么？“毛发”是人们偏爱的选择。必须承认，像“无特征定理”这样的术语，就不如“黑洞无毛”听起来有噱头。
我们直观地理解无毛定理的方式是，视界可能有一些暂时性的特征，但在光绕光环一周的时间里，它们就消失了。想用数学方法严密地证明这一点是很困难的。加拿大物理学家沃纳·伊斯雷尔（Werner Israel）最初提出的无毛定理并没有那么雄心勃勃，但它实际上是一个经过严密证明的结果。他证明，如果我们假设黑洞处于稳定状态（即没有暂时性特征），那么在视界处和视界外，一个不旋转的黑洞就必然是施瓦西黑洞。换句话说，施瓦西解是解决爱因斯坦方程的非旋转、稳态时空几何问题的唯一答案。这个结果后来被其他科学家推广到由克尔解描述的旋转黑洞的问题中，我们将在第4章中讨论克尔解。证明稳态解确实是独一无二的（这正是伊斯雷尔所做的）并不能充分表明所有黑洞都只能是施瓦西解或克尔解，但这无疑迈出了重要的一步。
所有证据都表明，施瓦西解和克尔解确实是引力坍缩的稳态结局。在一颗大质量恒星坍缩或者两颗黑洞合并后，都会形成一个黑洞，它的视界周围的时空绝对不会处于稳定的状态，而且会有一些有趣的结构。但很快地，所有结构都会以引力波的形式被带走，事件视界外的几何变成了能够由爱因斯坦场方程的精确解描述的完美、光滑、稳定的形态。相比之下，在视界内发生的事情远没有这么确定。事实上，尽管我们对施瓦西解和克尔解的内部有原则性认知，但由动态过程形成的黑洞视界内究竟发生了什么，仍然是科学家和数学家试图破解的一个谜题。
由大质量恒星坍缩形成的黑洞，它的过去不可能是一个白洞，而是一颗恒星，也不会有通向另一个宇宙的虫洞。事实上，关于如何“看见”星系中心的超大质量黑洞，还有一些未解的秘密。在它们的过去可能存在着类似白洞的东西，或者将它们连接到宇宙其他地方的虫洞，这并非完全不可能。如果宇宙中的超大质量黑洞的过去是白洞，我们可能就需要对施瓦西度规的白洞部分做些实质性修改，因为我们可以观察的过去（大爆炸）看起来与施瓦西白洞完全不同。但是，超大质量黑洞同样有可能是由极早期宇宙的大质量恒星坍缩，然后随着时间的流逝吞噬物质和其他黑洞形成的。在这种情况下，不会有任何白洞或虫洞与它们相连。至少有很多观测证据都可以表明黑洞存在于我们的宇宙中，但没有任何关于白洞或虫洞存在的证据。
我们已经呈现了广义相对论中的黑洞的一些奇妙之处。现在，你也应该可以理解，尽管在爱因斯坦公布了他的场方程后不久，施瓦西就可以用精确的数学来充分探讨它，而科学家们却花了如此长的时间才弄清楚施瓦西度规的真正意义。在施瓦西解被严肃对待之前，包括1963年发现的克尔解在内的许多新数学方法都成为必需品。同样至关重要的是，那时天文学家开始在宇宙中发现一些传统理论无法解释的天体，但却可以用黑洞理论来解释它们。若不是这样，广义相对论就会被视为一个数学上的怪胎，而且没有物理学上的相关性（就像它在创立之初曾被认为的那样）。我们对黑洞的大部分现代理论都是在爱因斯坦逝世之后才成形的，所以很遗憾，他不能完全欣赏到他的理论是如何真正令人大开眼界的。
【注释】
[1]对于从几乎固定半径的轨道径直向上传播的红移光子而言，狭义相对论的时间延缓效应也会有所影响。通常，我们的直觉是时间延缓被合并到了多普勒效应中，但对于传播方向与光源的运动成直角的光子来说却不是这样的。
[2]光子的行为与艾丽丝在飞船上的行为在某种程度上是不同的，因为光子完全没有质量。特别是，半径为1.5倍施瓦西半径的圆形轨道是光子唯一的圆形轨道，相较之下，艾丽丝和她的航天飞机则有许多可能的圆形轨道（稳定和不稳定）。
[3]1纳米=10-9米。——编者注
[4]1微米=10-6米。——编者注
[5]太阳引力也会影响潮汐，但简单起见，我们在这里忽略它，而只关注来自月球的更强影响。
