第7章 黑洞热力学
到目前为止，我们认为黑洞是由超新星创造的或者存在于星系中心的天体。通过观察黑洞附近恒星的加速运动，我们可以间接地观测到黑洞的影响。2015年9月14日，LIGO第一次成功探测到引力波则为黑洞碰撞事件提供了更直接的证据。在这些背景下，为了理解黑洞，我们需要用到微分几何和爱因斯坦方程，还需要能求解爱因斯坦方程并描述黑洞创造的时空几何的强大的分析和数值方法。从天体物理学的角度看，如果能对相关时空进行完全的定量描述，我们就会认为黑洞的主题完整了。但从更广阔的理论视角看，等待我们探索的东西还有很多。这一章介绍了关于黑洞物理学的现代理论发展的一些要点，其中热力学和量子理论的观点与广义相对论相互交叉，产生了一些令人吃惊的新见解。其结果是，黑洞不仅是几何物体，它们还有温度与巨大的熵，而且它们有可能是量子纠缠的表现。我们对黑洞的热力学和量子方面的描述，将比前几章关于黑洞时空的纯几何特征的讨论粗略一些，但量子理论是目前黑洞理论研究的尤为必要且重要的组成部分。我们渴望至少介绍一下这项工作的趣味。
在经典的广义相对论（即爱因斯坦方程的微分几何解）中，黑洞是真正意义上的黑色，也就是说，没有任何东西能从黑洞中逃逸。史蒂芬·霍金的研究表明，如果我们将量子效应纳入考虑，情况将变得完全不同。实际上，黑洞会发出具有确定温度（即“霍金温度”）的辐射。对天体物理学尺寸的黑洞（比如，从恒星质量黑洞到超大质量黑洞）而言，它们的霍金温度相比宇宙微波背景辐射的温度可以说是微不足道。宇宙微波背景是一种充斥整个宇宙的辐射，其本身可被看作霍金辐射的一种变体。霍金对黑洞温度的计算，是名为黑洞热力学的研究项目的一部分。另一个主要部分是黑洞熵，它表征着丢失在黑洞内部的信息量。普通物体（比如一杯水、一条纯镁或一颗恒星）也有熵，黑洞热力学的一个重要特征是，一个给定尺寸的黑洞比其他任何同样尺寸的物体的熵都大。
在深入研究霍金辐射和黑洞熵之前，让我们先快速了解一下量子力学、热力学和量子纠缠。量子力学主要发展于20世纪20年代，最初是为了描述像原子这样的极小事物。在量子力学中，长期以来被大家珍视的一些概念（比如单个粒子的确切位置）被模糊化了，原子核周围的电子不再有确切的定位。相反，我们认为电子在轨道上运动，它们的实际位置只能用概率密度来描述。但基于我们的目的，还是不要这么早谈到概率为好。举一个简单的例子，氢原子可以处于一个确定的量子态。它最简单的状态就是基态，即能量最低的状态，它的能量是确切已知的。一般来说，量子力学（原则上）允许我们对任何量子系统的状态都完全确定。
当我们探究一些关于量子力学系统的问题时，就会遇到概率。如果一个氢原子确实处于基态，我们可能会问：“在哪里可以找到电子？”量子力学的法则只会给出一个概率性的答案，比如，“电子可能在距离氢核半埃[1]的范围以内”。现在，通过一个物理过程我们有可能找到比一埃更精确的电子位置。其中一个典型的过程是从电子上散射一个波长非常短的光子，然后我们可以重建电子在散射瞬间的位置，使其精确到光子的大约一个波长的范围内。这个物理过程改变了电子的状态，使它不再处于氢原子的基态，也不再具有确定的能量。但是，它将暂时拥有一个近乎确定的位置（在光子的大约一个波长的范围内）。尽管我们只能用概率法预测它的位置在一埃以内，但一旦我们测量它，我们就会知道结果。简言之，如果我们以某种方式测量一个量子力学系统，我们就迫使它进入了一个具有我们所测量到的确定值的状态。
量子力学不仅适用于小系统，（我们认为）它对所有系统都适用。但对大系统而言，量子力学的法则会迅速变得复杂。一个关键问题就是量子纠缠的概念，我们可以以自旋概念为例来简单地说明纠缠。独立电子有自旋，所以实际上单个电子可相对于选定的空间轴自旋向上或自旋向下。电子的自旋是可观测的，因为它会像条形磁铁一样产生小磁场。自旋向上意味着电子的北极指向下方，自旋向下则意味着北极指向上方。一个联合量子态中可以存在两个自旋方向相反的电子，一个自旋向上而另一个自旋向下，但我们不可能辨别到底哪个电子是自旋向上。[2]实际上，氦原子基态包含的两个电子就处于这种状态，因为两个电子的总自旋为零，所以被称为“自旋单态”。如果能分离两个电子而不干扰它们的自旋，那么我们依然可以认为它们共同处于自旋单态，但不能辨别任何一个电子的自旋方向。如果我们测量了一个自旋之后发现它的方向向上，那么我们完全可以确信另一个电子是自旋向下。在这种情况下，我们说自旋是纠缠态的，因为单个电子的自旋本身并没有确定的值，而是两个电子共同处于一个确定的量子态。
爱因斯坦曾深受量子纠缠的困扰，因为它似乎违背了相对论原则。现在，我们来考虑空间上显著分离但处于自旋单态的两个电子。为了更明确，我们把一个电子拿给艾丽丝，把另一个拿给鲍勃。假设艾丽丝测量了她的电子自旋并发现它自旋向上，但是鲍勃没有对他的电子做任何测量。在艾丽丝测量她的电子之前，我们不可能知道鲍勃的电子的自旋方向。但在艾丽丝完成测量的那一刻，她可以完全肯定地说鲍勃的电子是自旋向下（与她的电子的自旋方向相反）。这是否意味着她的测量迫使鲍勃的电子在一瞬间进入自旋向下的状态？既然电子在空间上是分离的，又怎么会发生这种情况呢？爱因斯坦和他的合作者纳森·罗森（Nathan Rosen）、鲍里斯·波多尔斯基（Boris Podolsky）都感到，围绕纠缠态系统的测量问题如此严重，以至于它们动摇了量子力学的根基。爱因斯坦-波多尔斯基-罗森（EPR）悖论使用了我们在上文中描述的设置，进而声称量子力学不能完全描述现实。但基于更深入的理论研究和诸多的测量工作，现代观点普遍认为EPR悖论是无效的，而量子理论才是正确的。量子纠缠是真实存在的，即使纠缠系统在时空中被显著地分离开，其测量结果也是彼此相关的。
让我们回到两个电子处于自旋单态的情况，并分给艾丽丝和鲍勃每人一个电子。在进行测量之前，我们能确定的是什么？答案是：两个电子一起处于一个确定的量子态（自旋单态）。艾丽丝的电子既可能自旋向上也可能自旋向下，更准确地说，它的量子态为自旋向上和自旋向下的可能性相等。这种说法比之前更加依赖于概率。以前，我们考虑一个明确的量子态（氢的基态），并且知道有一些“坏”问题，比如，“电子在哪里？”，这些问题都只有概率性答案。相反，如果我们问的是“好”问题，比如，“电子的能量是多少？”，我们就能得到明确的答案。现在，如果不参考鲍勃的电子，我们就没有什么“好”问题可以问艾丽丝。（当然，我们摒弃了像“艾丽丝的电子是否自旋？”这样愚蠢的问题，这种问题原本就只有一个可能的答案）。因此，在讨论纠缠态中的一个量子比特（quibits）的时候，我们必须用概率来描述事物的特征。只在艾丽丝和鲍勃提出问题的答案具有相关性时，才会出现确定的答案。
我们有意识地从已知的最简单的量子力学系统之一——独立电子的自旋——入手。我们希望量子计算机也能够由同样简单的系统构建而成。事实上，对于独立电子的自旋或其他等价量子系统，我们现在用量子比特来描述它们，期待未来它们在量子计算机中能起到像数字计算机中的比特那样的作用。
现在假设我们用一种复杂得多的量子系统来代替每个电子，这样的量子系统的量子态不止两个。比如，我们也许会给艾丽丝和鲍勃纯镁块。在艾丽丝和鲍勃分开之前，允许他们的镁块相互作用，即处于一个确定的联合量子态。而一旦艾丽丝和鲍勃分开，他们的镁块便不再相互作用。就像电子一样，尽管他们的镁块处于确定的联合量子态，但单个镁块的量子态却不确定。（这个讨论假设艾丽丝和鲍勃能将镁块分开而不干扰镁块的内部状态，就像我们之前假设他们能够分离纠缠的电子而不干扰电子的自旋一样。）现在，与电子纠缠系统不同的是，每个镁块本身的量子态都具有极大的不确定性，以至于每个镁块可以轻松地拥有比整个宇宙中的原子数量还多的量子态。这时候热力学该登场了。尽管一个系统不能被精确地描述，但我们仍然可以很好地定义它的一些宏观特性。温度就是这样一种特性，它是衡量系统的任意部分可能具有的平均能量的量度，较高的温度很可能对应着较大的能量。熵是另一种热力学特性，它实质上表示一个系统可能的量子态数量的对数。镁块的又一个有趣的热力学特性是总磁化强度，它实质上等于镁块内部自旋向上的电子数量与自旋向下的电子数量的差值。
我们引入了热力学来处理与另一个系统纠缠而量子态不明确的系统。这是一个非常有效的处理方式，但与热力学的创立者们的思考方式相去甚远。这些人，比如萨迪·卡诺（Sadi Carnot）、詹姆斯·焦耳（James Joule）和鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius），都工作于19世纪的工业革命时期，他们都对一个实际问题更感兴趣：发动机是如何工作的？压力、体积、温度和热量对发动机设计来说是必需的。卡诺证明，以热能形式提供的能量永远不能全部被转化为有用功，比如举起一个重物，总会有一些能量被浪费掉了。克劳修斯的关键贡献在于引入了熵的概念，他将熵作为一个衡量热相关过程中的能量浪费的统一量度。关键在于，熵永远不会减少，并且在几乎所有过程中它都会增加，所以熵增加的过程被称为不可逆过程。克劳修斯、麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）等人对统计力学的后续发展表明，熵是对混乱状态的一种量度。通常，你越是用力推动某个事物，它就变得越混乱。如果你设计一个过程来建立秩序，就不可避免地产生更大的熵，通过释放热量等形式。比如，起重机将钢筋堆叠整齐，就钢筋的位置而言是有序的，但起重过程也会产生副产品，即热量，从而使总体的熵增加。
19世纪的热力学观点看上去与量子纠缠关系不大。但无论任何时候，只要一个系统与外部媒介发生作用，其量子态就会与外部媒介的量子态纠缠在一起。通常，这种纠缠会导致该系统的量子态具有更大的不确定性，换言之，该系统可能的量子态数量会增加。因此，一个系统的熵（根据可能的量子态数量来定义）通常会因为与其他系统的相互作用而增加。
总而言之，量子力学提供了一种表征物理系统状态的新方法，它使得一些量（比如位置）变得模糊，而另一些量（比如能量）则通常是确切可知的。在量子纠缠中，原则上两个分离的系统会有一个已知的总量子态，但单个系统本身的量子态不确定。关于纠缠的标准案例就是处于自旋单态的一对自旋电子，我们不可能分辨出哪个自旋向上，哪个自旋向下。一个大系统量子态的不确定性引发了热力学研究，尽管该系统有许多可能的微观量子态，但我们仍然可以精确获知像温度和熵这样的宏观特性。
在快速了解了量子力学、纠缠和热力学之后，接下来让我们看一下如何运用这些知识来证实黑洞是有温度的。比尔·昂鲁（Bill Unruh）首先证明，平直空间中一个做加速运动的观测者感知的温度等于加速度除以2π。昂鲁的计算关键在于，在特定的方向上以恒定的加速度运动的观测者只能看到平直时空的一半。实际上，另一半时空位于一个类似于黑洞视界的背后。乍听起来这似乎是不可能的，平直的时空怎么会有类似于黑洞的视界呢？为了得到答案，让我们请来可靠的观测者小组：艾丽丝、鲍勃和比尔。应我们的要求，他们排成一队，艾丽丝站在鲍勃和比尔中间，并距离他们两人各6千米远。大家达成一致，让艾丽丝在零时跳进一艘火箭船，并以恒定的加速度朝比尔飞去（同时远离鲍勃）。她的火箭船性能非常优良，能够获得1.5 万亿倍于地球表面的重力加速度。这样的加速度对艾丽丝来说显然很难忍受。但是，正如我们将要看到的那样，选择这些数字是有明确目的的，更何况我们只是在讨论概念上的可能性。当艾丽丝进入火箭船的那一瞬间，鲍勃和比尔都向她挥手。（我们之所以可以说“这一瞬间”，是因为在艾丽丝出发之前，她与鲍勃、比尔处于同一个参照系，所以他们都认可同一个时间概念。）艾丽丝一定会看到比尔向她挥手，事实上，她在火箭船上看到比尔向她挥手的时间会比她待在原地不动更早一点儿，因为她的火箭船正朝着比尔飞去。同时，她也在远离鲍勃，所以我们可以合理地推断，她在火箭船上看到鲍勃挥手的时间会比她待在原地不动要晚一点儿。而事实是：艾丽丝将永远不会看到鲍勃向她挥手！换句话说，即使她的速度达不到光速，鲍勃在挥手时发出的光子也永远追不上她。如果一开始鲍勃与艾丽丝之间的距离更近一点儿，那么在她出发时鲍勃发出的光子能够追上她。但如果他们之间的距离更远一点儿，光子就追不上艾丽丝了。从这个意义上说，艾丽丝只能看到一半的时空。在艾丽丝开始移动的那一瞬间，鲍勃位于艾丽丝的观测视界的背后。
图7-1 当鲍勃和比尔静止不动时，艾丽丝从静止开始加速。艾丽丝的加速度刚好使得她永远接收不到鲍勃在t=0 时发送给她的光子，但她能够收到比尔在t=0 时发出的光子。结果表明，艾丽丝只能够观测到一半时空
在对量子纠缠的讨论中，我们已经习惯了一个观念：虽然量子力学系统作为一个整体具有确定的量子态，但其各个部分的量子态却无法确定。实际上，当我们讨论一个复杂的量子系统时，尽管它的各个部分的量子态具有高度的不确定性，我们仍然可以用热力学中的确切温度来描述它们的特征。这与我们在前文中对艾丽丝、鲍勃和比尔的设定有点儿相似，但我们思考的量子系统应该是空的时空，艾丽丝只能看到一半的空的时空。我们约定时空作为一个整体处于它的基态，这意味着除了艾丽丝、鲍勃、比尔和火箭船之外，不存在任何其他粒子。但艾丽丝能看到的那一半时空不会处于基态；相反，它处于与她看不见的那一半时空纠缠在一起的状态。她能看到的时空处于一个复杂的、不确定的量子态，但它的温度是有限的。昂鲁的计算表明，这个温度大约是60纳开氏度（1 开氏度约为-272摄氏度）。简言之，艾丽丝在加速运动的过程中将看到一个辐射热库，而且这个热库的温度恰好是她的加速度除以2π。
昂鲁的计算中令人不舒服的部分是，虽然它从头到尾针对的都是空的空间，但它却反驳了李尔王的名言：“一无所有只能换来一无所有”。空的空间怎么会如此复杂？事实上，在量子理论中，空的空间是一个非常繁忙的地方。具有正负能量的虚拟粒子，在空间中不断地出现和湮灭。有一位身处遥远未来的观测者名叫卡罗尔，她可以看到所有空的空间，因而可以证实没有任何粒子能长久地存在。艾丽丝可以观测到的时空中的正能量粒子，通过量子纠缠与她无法观测到的时空中的负能量粒子相联系，它们的能量值互为相反数。卡罗尔能够感知到关于空的时空的整个量子真相，即没有粒子存在。然而，艾丽丝却感知到了粒子的存在。
昂鲁温度听起来似乎是假的，因为它并不像平直空间的特性，而更像在平直空间中做匀加速运动的观测者的一个特性。然而，引力本身就是一种“伪力”，它所引起的“加速”只不过是在弯曲度规中的测地线运动。正如我们在第2章中解释的那样，爱因斯坦的等效原理指出，加速度和引力在本质上是等效的。从这个角度看，黑洞视界的温度等于做加速运动的观测者的昂鲁温度，这并不令人震惊。但我们可能会问，应该使用多大的加速度呢？如果我们离黑洞足够远，它对我们的引力作用就会很弱。那么，我们是否应该相应地用较小的加速度来确定我们测量的黑洞的有效温度？这个情况令人不安，因为一个物体的温度不应该被任意降低，即便是非常遥远的观测者，他测得的温度也应该是某个有限的固定值。
图7-2 霍金辐射示意图。安妮在视界附近的一个固定半径处静止不动，她相当于一个做加速运动的观测者，因为她感觉到了黑洞的引力作用。她看到辐射的原因类似于昂鲁效应。这种辐射在向巴特传播的过程中发生了引力红移。巴特也是静止不动的，但他离黑洞如此遥远，以至于他几乎感觉不到黑洞的引力。而落入黑洞的观测者布鲁斯在穿过视界时则看不到任何霍金辐射
最接近霍金的黑洞温度论的观点是，我们应该利用观测者悬停在非常靠近黑洞视界处的加速度来计算黑洞温度，但要减去观测者经历的引力红移效应对应的温度。这个观点能让我们十分接近实际的霍金温度，接下来让我们以施瓦西黑洞为例，慢慢地了解这一思想。在这里，所谓悬停或者静态的观测者，指的是停留在视界附近固定半径处且不绕黑洞旋转的人。为了做到这一点，观测者安妮必须受到一个能持续把她推离黑洞附近的力，比如利用火箭。如果安妮只能看到局部的时空几何，那么等效原理就决定了她不能辨别自己身处弯曲时空之中，还是在平直时空中做匀加速运动。安妮越靠近实际的黑洞视界，这种等效的加速度就越大。根据昂鲁的计算，安妮会感知与她自身的加速度除以2π相等的温度。我们似乎陷入了和以前一样的陷阱：感知温度取决于位置。但谢天谢地，与另一个距离黑洞很远的观测者巴特相比，安妮还经历着相当大的引力红移效应。（在这种情况下，“远”的意思是施瓦西半径的很多倍）。安妮越接近视界，她感知的昂鲁温度越高。但不断增加的引力红移效应意味着，当她看到的辐射从黑洞的引力场中出来并到达巴特那里时，它将是一个有限的温度，这个温度并不会随着安妮越来越靠近视界而改变。这个有限的温度就是霍金温度，它乘以2π就可以得到被称为黑洞“表面引力”（surface gravity）的物理量。艾丽丝在平直空间中必须经历大小与表面引力相等的加速度，才能看到与巴特所见的霍金辐射温度相同的昂鲁辐射。[3](https://www.daowen.com)
我们之前说过，我们对作为昂鲁效应案例的数字的选择，是有明确目的的。事实上，艾丽丝的加速度是地球重力加速度的1.5万亿倍，约等于1倍太阳质量的黑洞视界处的表面引力。相应地，这样一个黑洞的霍金温度与艾丽丝经历的昂鲁温度相同，即60纳开氏度。黑洞的温度与质量成反比。
我们对昂鲁温度的描述强调在遥远的将来，做惯性运动的观测者卡罗尔会观测到全部的量子真相，即所有时空的量子态都是真空，没有任何激发。艾丽丝感知的热状态源自正能量激发，这种正能量与她不能感知的时空区域中的负能量激发处于量子纠缠状态。事实证明，霍金辐射的情况与这些陈述有类似之处，但也有一些重要的区别。在我们对昂鲁效应的讨论中，静止不动的观测者安妮与做加速运动的观测者艾丽丝最为相似。回想一下，在大部分的讨论中，鲍勃都躲在艾丽丝观测不到的那一半时空的视界之后。与鲍勃相似的应该是在黑洞情境中做自由落体运动的观测者布鲁斯，他正在落入黑洞视界。命运多舛的布鲁斯注定会撞上黑洞奇点。对于一个大黑洞来说，他的这种不幸的命运可能会来得晚一些，所以我们不妨问问布鲁斯在此期间观测到了什么。答案是：如果没有来自其他源头的辐射进入黑洞，那么他在穿过视界时将不会感知到任何温度。至少在黑洞视界附近，布鲁斯会说那里根本没有量子激发。
安妮和巴特的描述与布鲁斯的描述截然不同，他们看到了正能量粒子。正如昂鲁效应说的那样，这些正能量的激发在量子力学上必须与黑洞视界内的负能量激发联系在一起。让我们回顾一下这些争论的难点：当布鲁斯穿过视界时，他没有看到负能量激发；事实上，他看不到任何激发。在视界内存在负能量激发，是让包括安妮和巴特作为外部观测者的视角在内的量子理论成立的必要条件。不仅如此，这些奇特的激发还扮演了一个重要的物理学角色。它们能够减少黑洞的总质量，以抵消安妮和巴特观测到的向外辐射的能量。
向外的正能量激发和向内的负能量激发处于量子纠缠态，至少在视界附近我们可以说，对于落入黑洞的布鲁斯，以及静止不动的观测者安妮和巴特而言，这种纠缠的作用是保持量子理论的一致性。正是这种量子一致性通过纠缠驱动着霍金效应。因此，对细微处的微妙处理却产生了可感知的事物：黑洞中的正能量激发产生了辐射！
与昂鲁效应形成鲜明对比的是，我们很难做到让遥远未来的观测者观测到整个时空，因为黑洞内部没有遥远的未来，与此同时我们也无法从黑洞之外看到它的内部。如果黑洞完全被蒸发了，也许目击整个过程的观测者就可以说掌握了关于时空的全部量子真相。又或者，根本没有观测者能够看到有关黑洞时空的全部真相，这意味着关于量子态的信息确确实实丢失了。从过去到未来的量子演化如何与黑洞并存，这一难题被称为“信息丢失悖论”，至今人们仍对它争论不休。
总的来说，霍金辐射是从黑洞逃逸的量子力学激发，并经历了引力红移。它们被遥远的观测者以辐射的形式观测到，其温度等于黑洞的表面引力除以2π。与此同时，黑洞质量缓慢减少或被蒸发，反映了因辐射而损失的能量。在黑洞时空中运动路径不同的观测者会有什么量子体验，这些难题困扰了一代又一代理论学家。但如果我们身处黑洞之外，并且黑洞足够大，来不及被完全蒸发，那么我们将会看到霍金温度下的热辐射。
霍金辐射是黑洞最著名的热力学特性。除此之外，同样重要的还有贝肯斯坦-霍金黑洞熵，它以雅各布·贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）和史蒂芬·霍金的名字命名。回想一下，熵度量的是一个系统可能有的量子态数量（更确切地说，熵是量子态可能数量的对数）。熵最重要的特性是，它在物理过程中永远不会减少，通常它会增加。另一个重要的性质是，两个系统的整体熵并不会比单一系统熵的总和小。人们通常会发现，整体的熵就是各部分熵的总和。比如，室温下两杯普通水的熵是一杯水的熵的两倍。如果两个系统纠缠在一起，我们就能准确地知道它们的联合量子态，在这种情况下它们作为一个整体根本没有熵；然而，单个系统本身却可能具有相当大的熵！
就黑洞而言，熵等于视界的面积除以一个与引力强度相关的常数。公式为S=A/（4GN），其中GN是牛顿常数，它也出现在爱因斯坦方程中。这个公式对于黑洞的讨论如此重要，以至于它通常被称为面积定理。经典广义相对论的定理表明，在诸如黑洞碰撞等过程中，黑洞视界的总面积必然增加。这个结论被视为热力学第二定律的黑洞版本。值得强调的是，这些定理只在经典情况（即不产生像霍金辐射这样的量子效应）下成立。霍金辐射确实会导致黑洞质量慢慢减少，这意味着它们的视界面积也会随之减小。但是，这个过程极其缓慢。
面积定理表明，黑洞与普通的热力学物质十分不同。事实上，普通物质的熵通常与体积成正比，比如前文中提到的，两杯水的熵通常是一杯水的熵的两倍。我们也可以说，水的熵与其质量成正比，因为两杯水的质量是一杯水的两倍。而黑洞熵与面积的比例关系似乎表明，大黑洞的熵比我们按其体积估计的熵要小得多，但又远超我们按其质量估计的熵。我们进行估计的方法是，考虑将两个黑洞（每个黑洞都有一倍的太阳质量）合并成一个更大的黑洞。接下来的讨论会较为粗浅，因为我们将忽略第6章中介绍的黑洞合并产生的引力波及其能量释放。在忽略了这个因素之后，最终黑洞的质量是一个初始黑洞质量的两倍，而最终黑洞的实际熵是一个初始黑洞熵的4倍。这比我们按质量估计的熵大得多，因为如果熵与质量成正比，那么最终黑洞的熵应该只是一个初始黑洞熵的两倍。而最终黑洞的熵又比我们按体积估计的熵小，因为简单地说，最终黑洞的体积应该是一个初始黑洞体积的8倍，而实际的熵却只有4倍。正确的比例关系源自认为熵与视界本身有关的观点，即视界每增加一个与GN成正比的值时，熵就会有相当于一个新量子比特的增量。
贝肯斯坦最早提出了这一惊人的观点，即相比占据相同时空区域的其他任何形式的物质，黑洞的熵都更大。贝肯斯坦观点的一个简单版本是，在有限的时空区域中，普通物质想要拥有像黑洞这么大的熵，它的量就必须足够多，以至于有引力坍缩的风险。事实上，在普通物质的熵超过黑洞之前，它已经坍缩为一个黑洞。从这个意义上说，坍缩为黑洞可能是最无序和最不可逆的现象。
在某些限制条件下，弦理论为面积定理提供了一个微观的论证，但总的来说，我们没有从基本原理推导出面积定理。然而，特德·雅各布森（Ted Jacobson）却认为，如果假设黑洞热力学，特别是面积定理，以及微分几何的一些基本概念成立，就可以推导出广义相对论的核心——爱因斯坦方程。而且，众所周知，如果爱因斯坦方程在保持其潜在对称性的条件下被修改了，面积定理就会改变，但霍金的计算本质上保持不变。所以，黑洞熵被视为一个描述时空动力学的十分与众不同的工具。然而，黑洞熵究竟是什么呢？
胡安·马尔达西纳（Juan Maldacena）和伦纳德·萨斯坎德（Leonard Susskind）的最新建议，应该使纠缠熵更接近黑洞熵。回想一下EPR悖论，即两个处于纠缠态的自旋粒子被分开，令人困惑的一点在于，虽然两个纠缠的自旋粒子的联合量子态是确定的，但却无法确定任何一个粒子的量子态。每个自旋粒子都是一个量子比特，且都具有相当于一个量子比特的熵值。我们是否可以想象，在某个微观层面上，每一个自旋粒子都相当于一个黑洞，它们的纠缠在空间几何上就像它们之间的虫洞。但对于这个想法，有两个明显的反对理由。第一，熵只有一个量子比特的黑洞如此小，以至于它的几何可能没有任何意义。第二，正如第3章讨论的那样，虫洞是不可穿越的。为了解决这些问题，我们先想象一下具有更多可能量子态的更大系统，它们也有更大的熵。但是，我们依然让艾丽丝和鲍勃分别拥有这两个更大的系统，它们完美地纠缠在一起，因此它们的联合量子态是确切可知的。我们曾以纯镁条为例说明更大的系统，但现在我们想使用一些更神秘的物质，它们不久后就会坍缩成黑洞。简言之，艾丽丝和鲍勃现在相距很远，并且都在各自的黑洞附近，每个黑洞都至少有一大部分熵是由两个系统之间的量子纠缠产生的。所以，胡安·马尔达西纳等人提出，这两个黑洞由虫洞连接，这个虫洞就是它们的纠缠的几何表现。
我们如何验证这个想法呢？可以做一个思想实验，让艾丽丝和鲍勃分别测量他们的系统。近距离地观察一个正在发生引力坍缩的系统是一项危险的任务，因为在这个过程中观测者极有可能被吸入黑洞。即使从概念的角度看，这听起来也很糟糕，因为它似乎阻止了艾丽丝和鲍勃测量并比较他们的发现，以检查两个系统是否真的纠缠在一起。等一下！我们假设有一个虫洞将这两个黑洞连接起来。艾丽丝和鲍勃都可能被吸入各自的黑洞，但由于虫洞的存在，这两个黑洞共享同一个内部空间。单独的观测者不可能穿过虫洞从一个外部空间到达另一个外部空间，但实际上从两端分别进入虫洞的两个观测者可能会在虫洞内部相遇。所以，艾丽丝和鲍勃实际上可以比较他们的观测记录。这是支持虫洞率先形成的想法的关键点之一，因为如果没有这样的虫洞存在，艾丽丝和鲍勃就无法比较他们的测量结果，量子纠缠的概念也会被动摇。艾丽丝和鲍勃可能会感到些许安慰，因为在落入各自黑洞的有限时间内，他们将撞上共同的黑洞奇点。至少，他们可以在结局到来之前进行最后的量子力学验证！
图7-3 一个连接艾丽丝和鲍勃附近时空区域的虫洞。纠缠的量子态形成了虫洞，使得艾丽丝和鲍勃能在黑洞内部相遇。然后，在他们与黑洞奇点发生致命碰撞之前，他们可以验证对量子纠缠的测量结果
退一步看这些激烈的理论讨论，我们有理由质疑，上文中描述的观测者必须跳进黑洞的思想实验是否有现实意义。留在外部的观测者将永远不会知道（至少通过经典方式）艾丽丝和鲍勃能否相遇。这一切都只是假设吗？理论学家们通常的看法是，它不只是假设。我们必须记住，黑洞视界是关于未来命运的问题，而不是瞬间的体验。我们可以马上就进入一个宇宙学黑洞，但却需要比宇宙目前的年龄更长的时间才能到达它的奇点。许多宇宙学家想象，最终的坍缩可能是无限膨胀的宇宙最有可能的终极命运。或许在时空的尽头，会发生某种超越我们想象的创造性破坏，也未可知。
【注释】
[1]1埃=10-10米。
[2]有的读者可能会被两个电子是完全相同的粒子这一事实困扰。其实，我们完全可以拿一个电子和一个质子来构成联合量子态，但我们依然不能辨别哪个粒子是自旋向上，哪个粒子是自旋向下。
[3]随着观测者靠近视界，在不涉及温度或量子效应的情况下，我们可以根据引力红移的空间变化来定义和计算表面引力。结果表明，如果存在一个与黑洞的质量和半径相同的球体，那么黑洞表面引力将与一个坐在这个假想球体表面的观测者感受到的牛顿引力加速度相等，因此这个力也被称为“表面引力”。
