地图数据处理的分级模型
在地图制图中，对要素空间分布的统计数据进行分析后建立分级模型，采用分级统计图法编制成地图，用于反映要素在空间分布的规律性和一定的定性质量差异。如何用这种地图概括的方式正确地反映现象分布规律，这是要素(现象)数据分级的一个十分重要的问题。要素数据的分级包括分级数的确定和分级界限的确定两个方面。从统计学的角度来讲，分级数越多，对数据的综合程度就越小；从心理物理学的角度来讲，人们在地图上能辨别的等级差别是非常有限的。对地图作者来说，一方面为了尽可能保持数据原貌，必须增加分级数，以满足对统计精度的要求；另一方面为了增强地图的易读性，又必须限制分级数，以满足对地图阅读的要求。常用的分级数的适宜范围是5～7级，分级界限的确定是一个比较复杂的问题，在分级数一定的情况下，分级数据的统计精度完全取决于分级界线的确定，一般认为，应以保持数据分布特征为主，其次还要考虑图解效果。
1.等差分级模型
等差分级有两种，一种是相邻分级界限之间相差一个常数K，称为界限等差分级模型；另一种是相邻分级间隔之间递增一个常数D，称为间隔递增等差分级模型。
设有一组数据为x1，x2，…，xn，现要根据数据分布特征将n个单元分为M级。
1)界限等差分级模型
式中，L≤min(x1，x2，…，xn)为一适当整数，作为分级总区间左端点A0；H≥max(x1，x2，…，xn)，作为分级总区间右端点AM；M为分级数。分级结果为A0，A1，…，AM。
例如，L＝0，H＝600，M＝6，按式(7-8)，可得分级结果为
0～100，100～200，200～300，300～400，400～500，500～600
2)间隔递增等差分级模型
式中，L，H，M，Ai的含义与式(7-8)一致；D为公差。
由于
所以
例如，L＝0，H＝600，M＝6，根据式(7-10)，有
取D＝30，按式(7-9)，可得分级结果为
0～25，25～80，80～165，165～280，280～425，425～600
2.等比分级模型
等比分级模型也分两种，即界限等比分级模型和间隔等比分级模型。
1)界限等比分级模型
式中，Ai，L，H，M的含义与式(7-8)一致，但L的值不能为零。
L的取值有两种解决方案。
(1)分级不从零开始。此时数列公比q为
如用前述数据，假设L＝100，即A0＝100，公比为
根据式(7-11)求得分级结果为:
100～135，135～182，182～245，245～331，331～446，446～600
(2)令
此时数列公比q为
如用前述数据，假设A0＝0，A1＝L＝100，公比为
根据式(7-11)求得分级结果为
0～100，100～143，143～205，205～293，293～419，419～600
2)间隔等比分级模型(https://www.daowen.com)
式中，Ai，L，H，M的含义与式(7-8)一致；q为相邻两级间隔之比，需事先给定。
(1)当q＝0时，无意义，故q≠0。
(2)如果0＜q＜1时，则会出现A0—A1间隔较大，向高值愈接近，出现间隔值愈小的情况。
(3)当q＝1时，则有
即为式(7－8)，因此界限等差分级又可以看成间隔等比分级的特例。
(4)当q＞1时，向高值愈接近，间隔值愈大。同时，q的取值愈大，间隔之间的差异愈大，一般宜取小些。
如前述数据，取q＝2，根据式(7-12)，分级结果为
0～10，10～29，29～67，67～143，143～295，295～600
等差分级和等比分级模型的分级结果，要根据实际地图制图的需要进行适当调整、凑整。
3.统计分级模型
由于分级界限的确定以一些统计量为基础，所以这类分级模型能较好地反映数据的分布特征。通常，各级面积之间的对比关系可以归纳为3种情况:①各级面积均匀相等；②最大和最小数据值的级别所占面积较小，而向中间级别增大，基本上具有正态分布函数特征；③各级面积的对比具有其他分布函数特征。其中，第一种情况比较简单，只要按各区域所对应的数据指标依大小排列后，根据分级数把各区域面积相加后近似分成几个级别，适当把分级界限凑整，调整后即得分级成果；后两种情况，则需根据某种概率分布函数来拟合各级面积的方法，设计地图要素的分级。
1)面积相等分级模型
该模型的特点是各个等级在地图上有相等的面积。首先作面积对统计值的累加频率曲线，对代表面积百分数的纵轴等分，横轴上的相应点即为分级界线。此法适用于指标与分布的统计单元全部面积有关的情况，它的前提是各统计单元的面积必须已知。
2)正态分布分级模型
在地图上表示与区域面积分布有关的现象要素分级时，往往要求图面上最大和最小数据值的级别所占面积较小，而向中间级别增大，基本上具有正态分布函数特征。现结合一个具体例子来介绍正态分布分级方法。
设某制图地区共有92个区域，统计出各区域耕地面积占全部土地面积比重的数据，要求分为7级，共布有748个面积单位。92个区域按数据大小排列后，先用界限等差分级模型分为7级，各级所占面积的单位为:26.5(0～5%)，200.7(5%～10%)，157.1(10%～15%)，196.3(15%～20%)，112.4(20%～25%)，25.8(25%～30%)，29.2(＞30%)；n＝748。在分布的直方图(图7-2)上明显反映出现测值和理论值的差异(图上虚线表示理论值，实线表示观测值)，并且根据这种分级结果编制成图(图7-3)。
上述分级结果表明，各级所占图面积很不合理，如5%～10%这一级，所占的比重太大(200.7)，不能反映要素空间分布特征，需要重新设计分级。
图7-2 面积比直方图(等间隔分级)
图7-3 耕地占全部土地比分级统计地图(等间隔分级)
根据本例实际情况，把耕地比重最高与最低的两级作为已知分级，其中0～5%这一级共有4个区域，占常态面积的比重w1＝0.035 4；＞30%这一级共有5个区域，占常态面积的比重wp＝0.039 0。
为了计算方便，假设纵轴φ(u)位于正态分布曲线的中央，其左右常态面积为0.5，两边去除w1和wp后，常态面积分别为－0.464 6和＋0.461 0，查表得
u1＝－1.806 8，up＝1.762 4
假定设计为7级，除已定两级外，中间尚需分5级，每级间隔为
从而，可求得各级间隔的uk值和相应的wk值。然后计算
f′＝wk×n (n＝748)
即得各间隔面积单位的理论值f′。根据理论值，按92个区域原始数据排队，逐步划分级别，得到新的设计分级方案(表7-5)。分级间隔的实际情况和假设情况的直方图(图7-4)与根据分级结果编制的地图(图7-5)，反映出各级图面面积呈现正态分布结果。
表7-5 设计分级方案的计算
续表
图7-4 面积比直方图(正态分级)
图7-5 耕地占全部土地比分级统计地图(正态分级)
