制图数据分类模型
在专题制图中，经常遇到多维变量的分类问题，一般采用聚类分析方法。聚类分析又称群分析，是研究样本或变量指标分类问题的一种多元统计分析方法。首先认为所研究的样本或指标(变量)之间存在不同程度的相似性，根据各样本的多个观测指标具体找出一些能够度量样本或指标之间相似程度的统计量，作为划分类型的依据，将相似程度较大的样本(或指标)聚合为类。对呈地域分布的地理现象，能相应地编制出类型图或区划图。
为了对样本或变量进行分类，需要研究样本或变量之间的关系，样本或变量间的关系的定量描述可以用距离和相似系数等统计量。
设有n个样品，每个样品测得m个变量:把每个样品看成n维空间中的向量；变量数据矩阵为
根据分类对象的不同有Q型聚类分析(对样品分类)和R型聚类分析(对变量分类)两种类型。
1.Q型聚类分析常用的统计量
1)距离系数
对样本进行分类时，样本之间的相似性程度往往用“距离”来度量。样本距离近的点归为一类，距离远的点归于不同的类。
在规格化变量互不相关的情况下，采用欧氏距离:
把任何两两样品的距离都算出后，得距离系数矩阵
其中，d11＝d22＝…＝dnn＝0。
这是一个实对称矩阵，所以只需计算出上三角形或下三角形部分即可，根据D可以对n个点进行分类，距离近的点归为一类，距离远的点属于不同的类。
当变量彼此相关时，可采用马哈拉诺比斯距离(马氏距离):
式中，S－1为X i，X j两个向量的协方差矩阵的逆矩阵。
2)相似系数(夹角余弦)
为了对样本进行分类，可以用某些数值的相似性变量来表示样本之间的密切关系。相似系数越大(越接近于1)，表示样本之间越密切；相似系数越小(越接近于0)，表示样本之间的相似性程度越低。
相似系数(夹角余弦)为
所有两两样品的相似系数组成一个相似系数矩阵:
式中，cosθ11＝cosθ22＝…＝cosθnn＝1。
这也是一个实对称矩阵，根据相似系数矩阵可对n个样品进行分类，把比较相似的样品归为一类，不相似的样品归为不同的类。
3)相关系数
相关系数实际上是数据规格化后的夹角余弦。相关系数为
式中，
把两两样品的相关系数都算出后，组成样品相关系数矩阵:
式中，r11＝r22＝…＝rnn＝1。
这也是一个实对称矩阵，根据相关系数矩阵可对n个样品进行分类，相关系数越大(越接近于1)，表示样本之间关系越密切；相关系数越小(越接近于0)，表示样本之间的相关程度越低。把相关较密切的样品归为一类，不相关的样品归为不同的类。
2.R型聚类分析常用的统计量
1)距离系数
把两两变量的距离都算出后，得距离系数矩阵:
其中，d11＝d22＝…＝dmm＝0。
这是一个实对称矩阵，所以只需计算出上三角形或下三角形部分即可，根据D可以对m个变量进行分类，距离近的变量为一类，距离远的变量属于不同的类。
2)相似系数(夹角余弦)
为了对变量进行分类，可以用某些数值的相似性来表示变量之间的密切关系。相似系数越大(越接近于1)，表示变量之间越密切；相似系数越小(越接近于0)，表示变量之间的相似性程度越低。
相似系数(夹角余弦)为
所有两两变量的相似系数组成一个相似系数矩阵:
式中，cosθ11＝cosθ22＝…＝cosθmm＝1。
这也是一个实对称矩阵，根据相似系数矩阵可对m个变量进行分类，把比较相似的变量归为一类，不相似的变量归为不同的类。
3)相关系数
相关系数实际上是数据规格化后的夹角余弦。相关系数为
式中，
把两两变量的相关系数都算出后，组成变量相关系数矩阵:
式中，r11＝r22＝…＝rmm＝1。
这也是一个实对称矩阵，根据相关系数矩阵可对m个变量进行分类，相关系数越大(越接近于1)，表示变量之间关系越密切；相关系数越小(越接近于0)，表示变量之间的相关程度越低。把相关较密切的变量归为一类，不相关的变量归为不同的类。
3.地图分类的系统聚类模型
系统聚类方法的基本思想是:先将几个样本(或变量)各自为一类，计算它们之间的距离，选择距离小的两个样本归为一新类，计算新类和其他样本的距离，再选择距离最小的两个样本归为另一个新类，每次合并减少一个类，直到所有样本划为所需分类的数目为止。
类与类之间的距离可以有许多定义，不同的定义就产生了不同的聚类方法。
1)最短距离法
最短距离法是最常用的聚类方法。用dij表示样本之间的距离，用g1，g2，…，gl表示类(群)。定义两类间最近样本的距离表示两类之间的距离，类gp和类gq的距离为
最短距离法分类的步骤如下。
(1)计算样本之间的距离。根据式(7-13)计算各样本间两两相互距离的矩阵，记作D(0)。
(2)选择D(0)的最小元素，假设为dpq，则将gp和gq合并为一新类，记为gr，
(3)计算新类与其他类的距离。例如，计算新类gr与类gk的距离:
由于gp和gq已合并为一类，故将D(0)中p，q行和p，q列删去，加上第r行和r列，得新矩阵，记作D(1)。
(4)对D(1)重复D(0)的步骤，得D(2)，依此类推，计算D(3)直至所有的区域分成所需几类为止。
在实际分类中，每次可以限定一个合并的定值t，每一步合并中可以对两个以上样本同时进行合并。
2)最长距离法
如果新类和其他类的距离用最长距离来表示，则
合并类的原则和最短距离法一样，取最小距离dpq，将gp和gq两类合并为一新类gr，gr与各类距离由最长距离确定。
3)重心法
从物理角度来看，新类和其他类的距离应以重心代表比较合理。如果gp和gq两类距离最近，合并为一新类gr，gr与gk的距离为
式中，np，nq分别为p，q类的样本数；nr＝np＋ng。(https://www.daowen.com)
4)离差平方和法
该方法是将方差分析用到聚类中，要求同类样品的离差平方和最小，类与类之间的离差平方和最大。离差平方和法的新类和其他类的距离计算公式为
5)系统聚类应用举例
下面以最短距离法为例来说明具体的系统聚类方法步骤。
(1)原始统计数据矩阵。原始统计数据见表7-6，n＝17，m＝7。
表7-6 原始统计数据
(2)数据规格化。计算各变量的平均值和标准差后，对数据进行规格化处理，列于表7-7。
表7-7 规格化数据
续表
(3)距离系数矩阵。根据规格化数据，按式(7-13)计算各样本间两两相互距离，建立距离系数矩阵(表7-8)。
表7-8 距离系数矩阵D
(4)最短距离法分类。假设需要把17个单元分为四类，分类步骤如下。
首先选择最短距离。取值t1＝2.00，其对应的距离dpq≤t1的单元距离有:d1·10，d3·7，d3·14，d3·15，d4·14，d5·11，d7·14，d7·15，d13·16。将g1和g10合并成新类g18；g3，g4，g7，g14，g15合并成新类g19；g5和g11合并成新类g20；g13和g16合并成新类g21。
根据式(7-20)计算新类与其他类的距离。例如:
d18·20＝min{d1·5，d1·11，d10·5，d10·11}＝min{2.61，2.43，2.93，2.94}＝2.43
同理，可求得其余的距离，结果D(1)列于表7-9。
表7-9 距离系数D(1)
再在D(1)中第二次选择最短距离。取t2＝2.3的单元，其对应的距离dpq≤t2的单元距离有:d2·19，d2·21，d6·19，d8·19，d17·21，d19·20。即把g2，g6，g8，g17，g19，g20，g21合并成新类g22。
这样，已分出g9，g12，g18，g22四类。其分类结果为:
Ⅰ:1，10
Ⅱ:2，3，4，5，6，7，8，11，13，14，15，16，17
Ⅲ:9
Ⅳ:12
根据距离系数矩阵制作聚类图(图7-6)。
根据分类结果可制作区域类型分布图(图7-7)。从分类图上看，这4个类型的地区分布是比较明显的，足以证明分类结果是符合客观现实的。
4.树状图表分类模型
树状图表分类模型是依据距离系数矩阵的数据，建立各样本单元相互联系的树状图表，在此图表上按选定的距离作为分类标准，把各单元划分几个类。
建立分类的树状图表，其基本原理是依据图论的方法。现以前面引用的实例来叙述树状图表建立的方法和聚类过程。
图7-6 聚类图(最短距离法)
图7-7 区域类型分布图(最短距离法)
根据距离系数表(表7-8)，先在第一行中取最小距离(d＝0除外)d1·10＝1.63，按规定的图表比例关系表示在略图上得1、10两点，同时删去与此对称的距离d10·1(以后均应删去对称的距离dji，下面不再重复)；在第二行中取最小距离d2·13＝2.04，同样用另一分支表示在图表另一位置；第三行中取d3·14＝1.38，表示出第三分支；在第四行中取d4·14＝1.96，在3—14的延长线上(可任一方向)按比例表示得4点，即连接了3、14和4三点:在第五行中取d5·11＝1.04，建立第四分支；在第六行中取d3·6＝2.25，由3点按比例延长至6点，在第七行中取d7·15＝1.22，建立第五分支；在第八行中取d8·3＝2.28，由3点从另一方向按比例延长至8点；在第九行中取d9·17＝2.34，建立第六分支；在第十行中取d10·5＝2.93，连接了第一、第四分支；在第十一行中取d11·4＝2.17，连接了4点和11点，在第十二行中取d12·11＝2.93，由11点的另一方向延长至12点；在第十三行中取d13·16＝1.61，由13点延长至16点；在第十四行中取d14·7＝1.79，连接7点和14点；在第十五行中，d15·7已删去(已用过)，d15·3＝1.85的3点已在本系统内表示，如果取d15·3，图表将在本系统内产生闭合，所以应顺次取d15·2＝2.13，连接15点和2点；此时全部点已表示在图表上，仅需选取一个距离将两大分支连接，在最后两列中选取最短距离d17·13＝2.27，把整个图表连接在一起，至此，树状图表已完整建立起来(图7-8)。
图7-8 树状图表
从图7-8中可知，两点之间的逼近，表示其分类较为相似。对整个图表用相对较长的距(如取t＝2.3)，可把各单元分成几类(如本例分成四类)。本例分成四类的结果与最短距离法的结果一致。
5.贝利分类模型
该方法的分类特点是在每合并一次类后，需要根据合类样品各指标的平均值重新计算新的距离系数，再在新的距离系数矩阵中进行分类；如此逐步计算合并，直至达到所需要的分类数目为止。
设有样品单元为A，B，C，…，各单元的指标为X1，X2，…，Xm，变量为xij(i＝A，B，…；j＝1，2，…，m)。经数据规格化并计算距离系数后得
假如在D n(0)中dAB最小，则A、B合并为一类；合并后把A和B样品的各指标相应计算其平均值，得
其余类推。据此计算新的距离系数矩阵D n－1(1)，再进行分类合并。如果第二次是dCD为最小，则合并C，D，那么，计算新的指标为
再计算距离系数矩阵；如果是dAB·C为最小，则A，B，C应合并为一类，新的指标应为
据此计算距离系数矩阵D n－2(2)，进行分类合并，直至所需分类数目为止。
同样也可根据逐步替代法作聚类图，其作图法与前面一致，只是每合类一次后，需要根据新的距离系数矩阵选取最小距离值，并划去相应矩阵中的该行和列。
应用上述实例，按逐步替代法计算的分类结果为:
Ⅰ:1，5，10，11
Ⅱ:2，13，16
Ⅲ:3，4，6，7，8，9，14，15，17
Ⅳ:12
其相应的聚类图和类型分类图见图7-9和图7-10。
图7-9 聚类图(贝利方法)
图7-10 类型分类图(贝利方法)
这个分类结果是在最短距离方法的基础上进一步深化的结果。
6.典型样品单元分类模型
典型样品单元模型的分类方法是按距离系数矩阵确定典型样品单元，一般来说，分类数目与典型样本单元个数相等。与这些典型单元接近的单元组成同种的区域(样本)单元类型。首先，计算各单元规格化指标组成的指标综合体，即
如果Vi≈0，表示该单元在m维空间中近似位于坐标原点附近，处于各单元的中央位置。因此，取Vi值最小的单元为假设起始单元，作为计算分类典型的“起算点”，用gm表示。然后从矩阵D中选择与假设起始单元相应的距离系数列，在其中找出与gm相距最大的距离系数(gc1)作为第一个典型单元。第二个典型单元应与全地区平均值(gm)和第一个典型单元(gc1)的指标值均有最大的差别，这就需要在累加假设起始单元与各单元的距离值和第一典型单元与各单元相应的距离值之和中，选择距离累加值最大值的单元作为第二个典型单元(gc2)。接着是三个距离值累加取最大值确定第三个典型单元(gc3)。依此类推，直至所求的典型单元数目为所需分类数目为止。其他未选入典型样品的单元，均与各典型样品单元比较，按分类距离系数的最短性分别归入各典型单元之中。
根据表7-7、表7-8的数据，按典型样品单元分类模型计算分析，结果见表7-10。
表7-10 典型样品单元计算表
其分类结果为:
Ⅰ:1，4，5，10(10)
Ⅱ:2，13，16(16)
Ⅲ:3，6，7，8，9，14，15，17(6)
Ⅳ:11，12(12)
单元10，16，6，12分别是第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ类的典型单元。典型单元模型能比较直观地反映各类的典型样品，有利于显示专业化分类(分区)的典型区域。
