2.2.1 基于VPD混沌系统的微弱信号检测原理及频率检测方法
基于VPD混沌系统微弱信号的检测原理是先将系统参数设定在临界值附近，然后加入待测信号与系统内部固有驱动力一起驱动系统，再根据驱动力作用下系统状态是否发生变化进行判别，从而检测出信号的幅值。而实际工程信号的频率是不尽相同的，VPD混沌系统只适用于检测特定较低频率的微弱信号，过大的频率会使系统的动态响应时间变差，从而导致系统无法从混沌状态转换到周期状态。因此如何解决VPD混沌系统对不同频率微弱信号的响应问题，是将混沌系统应用于实际工程的关键一步。本节拟采用变尺度方法，对不同频率信号进行尺度变换，以克服频率较高给混沌微弱信号检测带来的问题。
VPD混沌振子有着复杂的混沌特性，其方程模型既包含了Duffing混沌振子的非线性回复力又具有VPD混沌振子非线性阻尼项：
其中μ 和α为正值变量，x+αx3为非线性回复力，Fcos(wt)为内部正弦驱动力，w 为驱动力频率，依照Yamapi和Filatrella对VPD混沌振子混沌特性的研究，设定μ=5，α=0.01，w=2.5rad/s以保证VPD混沌振子混沌特性适应于微弱信号检测。设定方程(2.1)所描述的系统从混沌状态(图2.1a)向大尺度周期状态(图2.1b)转换的临界时刻的F 即为混沌系统状态转换阈值F0。
将方程(2.1)修改为适用于微弱信号检测的状态方程(2.2)，其中a cos(w1t)为待测微弱信号，n(t)为高斯白噪声。
基于方程(2.2)的微弱信号混沌检测原理为：先调节系统驱动力F，使混沌检测系统进入临界状态(混沌运动状态，且即将转换为大尺度周期运动状态)，得到阈值F0；再加入频率与系统相同的待测信号和噪声，系统即进入大尺度周期运动状态，这时调节系统驱动F，使系统从大尺度周期运动状态回到混沌运动状态，并得到此时的驱动力F1。这样，就可以求得该待测微弱信号的幅值为a=F1-F0。(https://www.daowen.com)
针对VPD混沌系统微弱信号检测的频率问题，拟引入变尺度思想，提出基于VPD振子的变尺度微弱信号检测方法。所谓变尺度，就是指改变信号的时间(频率)尺度，即对于待测信号，在不改变其离散数值的情况下，将其在时间尺度上进行压缩或放大。这种时间尺度变换并不改变参与计算数据的数值，只是在时间(或频率)轴上对数值进行了重新排序。
图2.1 混沌振子相图
(a)F=5.38，混沌状态；(b)F=5.39，大尺度周期状态
假设待测信号s(t)=a cos(w1t)，其中a 是其待测微弱信号幅值，w1(w1≠2.5rad/s)是其圆频率。显然，当待测信号的频率值不等于驱动信号的频率值，方程(2.2)所描述的VPD 系统并不能将待测信号的频率值检测出来。保持方程(2.2)中各参数条件不变，仅引入一个变尺度系数R，使待测信号在其时间轴上放大R 倍，即t＇=2.5Rt。此时，数值上若能使R=w1/2.5，则待测信号变为s(t＇)=a cos(w1t)=a cos(w1t＇/2.5R)=a cos t＇，就相当于将待测信号的圆频率在频率轴上压缩为2.5rad/s。当该信号输入VPD系统之后，在VPD振子的作用下就可以将s(t＇)检验出来。然后根据R=w1的关系确定被检测出来的待测信号含有圆频率w1成分。
在具体处理实际信号时，是无法通过s(t＇)=a cos(w1t)=a cos(w1t＇/2.5R)=a cos t＇这样的线性变换来直接对采集信号进行重构，因此利用变尺度方法对实际信号进行检测时，我们是通过对数值计算的补偿进行尺度变换来实现的。一般来说，若信号的采样频率为fs，则数值计算的步长dt=1/fs。当引入变尺度系数R 时，数值计算的步长变为dt＇=Rdt=R/fs，也就是人为地将信号的时间间隔增大了R 倍，相应的信号的圆频率则被压缩为
。这一变换的本质在于，一个采样频率为fs的圆频率为w 的采集信号，通过变尺度系数进行尺度变换之后，变成了一个采样频率为fs/R 圆频率为w/R 的信号。当R=w 时，将该信号输入到VPD系统方程(2.2)中，并令计算步长dt＇=Rdt=R/fs，即可识别出该频率的微弱信号。
