3.6.1 直观法
直观法主要包括时序波形法、相轨迹图法、功率谱法、Poincaré截面法、分岔图法、频闪采样法等，其中时序波形法和相轨迹图法由于算法简单且结果明显最为常用[18]～[23]。
(1)时序波形法
混沌时间序列分析逐渐成为科学家们研究非线性重要手段之一。混沌时间序列波形是运用已知的现在波形建立混沌预测模型，预测改组均有混沌序列的未知波形。时序图是通过绘制出系统的状态变量和时间t的关系曲线系统输出整体时序波形，对系统当前所处状态进行初步判断。研究表明，系统处于混沌运动状态时，其时序波形呈现的为看似杂乱无章的波形。当系统处于周期状态时，则呈现的为具有一定规律的周期波形，蔡氏振子混沌状态和周期状态的时序波形图分别如图3.16(a)、(b)所示。
(2)相轨迹图法
相轨迹图法通过观察混沌振子在二维状态变量空间中的轨迹曲线分布来判别运动状态，如果相图显示的轨迹线杂乱无章且几乎整个二维空间中都有分布，则此时的系统为混沌状态，反之，若轨迹是非常规律地约束在一束封闭曲线则为周期状态，蔡氏振子不同状态的相图如图3.17所示。
(3)功率谱法
功率谱法是一个混沌系统用来判别运动状态的重要方法。一个周期性的时域信号，其频谱图是离散的谱线，而对于随机过程来说，其频谱图上的谱线则应是连续的。由于混沌系统是一个确定性系统中存在着类似随机过程的不规则运动，并不是一个完全的随机过程，在利用功率谱法对其运动状态进行判别时，如果直接采用傅里叶变换求其功率谱密度，由于系统中不确定干扰的影响，会导致无法判别出系统状态，因此应先对系统的输出信号做预处理，进行自相关运算，再进行傅里叶变换计算功率谱。
图3.16 蔡氏电路不同状态时序波形图
(a)混沌状态；(b)周期状态
图3.17 蔡氏电路不同状态相轨迹图
(a)混沌状态；(b)周期状态
对一个信号x(t)做自相关函数运算的公式为：
对进行过自相关计算后的信号C(τ)做傅里叶变换：
根据计算后的功率谱密度函数S(ω)绘制图像，得到混沌系统的功率谱，由系统的功率谱图形判别一个混沌系统状态的依据由表3.1给出。
表3.1 功率谱判别法依据
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图3.18 功率谱法
(a)混沌状态；(b)混沌状态局部放大图；(c)周期状态；(d)周期状态局部放大图
蔡氏振子在混沌状态与周期状态下的功率谱图如图3.18所示，图上可以看出，无论是混沌状态还是周期状态，系统的功率谱都是连续的，但是当系统为混沌状态时，密度谱线是无规则且有较多毛刺的谱峰；而当系统为周期状态时，谱线则为有一定规则且相当光滑的谱峰。因此，可根据功率谱上谱线的谱峰来判别混沌系统的不同状态。
(4)Poincaré截面法
Poincaré截面图上的点表示系统相空间在某一平面的截点，这个截面图能很好地刻画混沌的往返复始的非周期特性，庞加莱截面法由Poincaré于19世纪末提出，在系统的相空间中任意选取一截面，这一截面与系统相空间的运动轨线交点称为截点。采用庞加莱截面法判别一个混沌系统的规则为：如果所取截面上截点的轨迹分布是有限点集，则对应的系统运动状态可能是周期状态。如果系统处于混沌状态，那么它的庞加莱截面图将会是模糊一片的点集，本节采用的蔡氏振子不同状态的庞加莱截面图如图3.19所示。
表3.2 Poincaré截面判别法依据
图3.19 Poincaré截面法
(a)混沌状态；(b)单周期状态
(5)分岔图法
在普里戈金的耗散结构理论中，分岔图的地位十分重要。由分岔图可以说明许多社会现象和科学问题。分岔图是记录一个非线性系统当一个参数值超过某一临界状态值，引起系统状态突然变化的一个长期动态行为的图像。通过分岔图，我们可以直观地看到，分岔变量的平滑变化是一系列系统状态的突然变化，如从定点分岔到倍周期分岔，从倍周期分岔到混沌。分岔图的绘制是以引起系统状态转变的一个参数为横坐标，任意选择系统的状态变量为纵坐标，绘制出系统状态在平面上的离散点，得到系统的分岔图如图3.20所示。
图3.20 分岔图法
(6)频闪采样法
频闪采样实际上就是对相轨迹图按照一定的时间间隔做采样，由于混沌运动非常复杂，且一旦运动时间过长，相空间中的运动轨迹将会相互重叠和混淆，导致状态可分辨性降低。为此，我们需要将相空间中原始的连续轨迹离散化，表3.3代表频闪采样法依据，按照固定的时间间隔来观察相空间中的采样点，得到蔡氏振子的混沌与周期状态的分频采样图，如图3.21所示。
表3.3 频闪采样法依据
图3.21 频闪采样法
(a)混沌状态；(b)单周期状态
