3.6.2 定量法
虽然采用直观法可以迅速并直观地对系统状态进行判断，但由于混沌系统非常复杂且特性丰富，当系统状态不够准确或者图像规律不明显时，采用直观分析法极有可能会造成误判，此时就需要采用数值计算的方式对系统运动状态进行进一步的精确判断。
(1)Lyapunov指数法
Lyapunov指数作为衡量混沌系统动力学特性的一个重要定量指标，表示的是相空间中相邻两条相轨迹线之间相互靠近或者远离的平均指数收敛率或发散率[24]～[27]。通常情况下，一个多维混沌系统会有多个Lyapunov指数。蔡氏振子作为三维系统具有三个Lyapunov 指数，这一吸引子的类型由Lyapunov指数的值决定，如表3.4所示。
表3.4 三维非线性吸引子的种类
为了确定一个非线性系统是否处于混沌运动状态，需要检查其最大Lyapunov指数是否为正。其计算公式为：
目前Lyapunov指数谱的绘制在计算机中的实现已经非常成熟，而且，从Lyapunov指数谱上可以间接得到系统状态转换的临界阈值，这一特性使得利用Lyapunov指数法在微弱信号检测流程中具有不可替代的地位。
(2)分数维法(https://www.daowen.com)
维数是用来衡量一个系统属性的变量。对系统不同属性分析，维数有不同的定义，如信息维、相关维、容量维等。一般情况下，维数应该都是整数，如线的维数是1，面的维数是2，而混沌系统具有无限层次的分型结构，无法用传统的维数概念对其进行分析，为此引入“信息维”的概念[28]。
(3)Kolmogorov熵
柯尔莫哥洛夫熵(Kolmogorov Entropy)是判定混沌系统特性及衡量系统混沌程度的另外一个重要指标(表3.5)，其表示的是混沌系统产生的信息量在单位时间内的极值[29]。柯尔莫哥洛夫熵的定义源自信息熵，其计算公式为：
表3.5 柯尔莫哥洛夫熵判别依据
本节以蔡氏电路作为研究对象，详细介绍了经典蔡氏电路的数学模型及其动力学特性，其中重点研究了初值敏感性与遍历性。利用其运动状态随系统参数α增大而变化的特性，在经典蔡氏电路中加入一个正弦策动力得到改进检测系统，并说明了基于改进蔡氏电路的微弱信号检测原理和流程；检测流程中最关键的一步是确定系统的临界阈值，基于此以蔡氏电路为例分别从直观法、定量法、解析法着手，对混沌运动状态常用的几种判别方法进行了较为详细的探讨。为后续章节基于忆阻器混沌系统的微弱信号检测分析做了铺垫。
