1.2.3 存在的主要问题及研究进展情况
仅基于响应的结构模态参数辨识方法经过30余年的发展，已取得丰硕的研究成果，但在实际应用中仍存在诸多问题。结合本书的研究内容，本节从非白激励下的模态辨识、非高斯测量噪声下的模态辨识、递推模态辨识三个方面阐述仅基于响应的结构模态参数辨识方法存在的主要问题，并介绍各自的研究进展及待解决的问题。
1.2.3.1 非白激励问题及研究进展
在结构工作模态分析中，作用在结构上的输入是未知的，需对输入进行适当的假设，通常假设为白噪声，其功率谱是平谱。在此假设下，响应信号功率谱的峰值均是由结构的共振频率造成的，因此可仅基于响应来辨识结构的模态参数。然而，工程结构在服役过程中受到的环境激励复杂多样，在很多情况下不满足白噪声假设，呈现非白特性。非白环境激励的功率谱不再是平谱，根据激励频谱峰值的形式，其可分为以下两类［1］：
第1类，含谐波成分的环境激励。例如，结构的旋转部件（如叶轮机、齿轮箱等）、作用在堤坝上的潮汐等均能产生谐波激励成分，导致激励功率谱在谐波频率处幅值突然升高，形成很窄的尖峰。
第2类，功率谱峰值具有一定宽度的环境激励，如火箭发动机产生的低频脉动、运载火箭受到的非平谱阵风载荷。这类激励的功率谱形状与共振峰类似，尖峰具有一定的宽度，表现出一定大小的阻尼特性。
图1.3给出了这两类典型非白环境激励功率谱密度函数曲线示意图，图1.3（a）中的激励含10 Hz谐波成分，图1.3（b）中的激励能量在10 Hz尖峰两侧逐渐衰减。
图1.3 两类典型非白环境激励功率谱密度函数曲线示意图
（a）第1类；（b）第2类
当系统的激励功率谱不是平谱而存在主频时，根据主频与系统共振频率的不同关系，工作模态分析方法可能出现两种问题［1］：
（1）当主频与共振频率相隔较远时，仅基于响应的辨识方法会将该主频辨识成系统的模态频率，造成虚假模态。
（2）当主频与共振频率相隔很近甚至重合时，工作模态分析方法将不能有效辨识对应的模态频率，会出现频率分叉现象，且阻尼的误差会很大。
针对这两种问题，已有不少学者对其进行研究，并取得了丰硕的成果，主要包含以下几种解决方法［1，112］。
1.直接利用激励主频先验知识的方法
该方法处理激励主频的方式主要有两种。其一，在采用OMA方法辨识出模态参数后，根据激励主频的先验知识将激励主频对应的模态去掉。Weijtjens等［113］在辨识风轮机的模态参数时，采用OMA方法获得模态参数后，将风轮机转速附近5%以内的模态频率直接去除，认为该范围内的频谱峰值是由谐波激励引起的。由于谐波激励下的结构响应仍为谐波，其阻尼比为0，于是，李中付等［114］和续秀忠等［115］在辨识出结构的模态参数后，将阻尼比近似为0的频率看成谐波激励的响应，从而去除谐波激励的影响。其二，将激励主频信息包含在辨识算法中，直接辨识系统的真实模态。Mohanty等假设谐波激励频率已知且阻尼比为0，将谐波分量引入算法，分别构造了改进的LSCE方法［116］、ITD方法［117］及ERA方法［118］，并进行了实验验证。
2.基于信号处理的方法
基于信号处理的方法的核心是利用信号处理技术，消除信号中的谐波成分，这种方法在旋转机械中应用广泛，常用的方法包括倒谱编辑（cepstrum editing）与时域同步平均（TSA）技术。Bechhoefer等［119］详细介绍了TSA方法，探讨了对噪声和故障的敏感度等方面的性能。Randall等［120］详细介绍了倒谱的概念、计算方法和特性，并对基于倒谱编辑的旋转机械谐波去除方法进行了综述。Manzato等［121］采用这两种方法对风机叶片的模态参数进行辨识，消除了叶片旋转带来的谐波激励影响。Groover等［122］提出了一种双重采样方法，通过时域-阶比域-频域-阶比域-时域的多步转化及处理，去除匀加速旋转轴带来的谐波激励影响。Qi等［123］结合频谱矫正方法、谐波小波滤波及随机减量法（RDT），对含旋转部件的系统模态参数开展了辨识，并进行了实验验证。Rahman等［124］提出了脉冲同步时间平均方法，去除了脉冲响应中测量噪声和谐波响应的影响。
3.基于动力学或响应统计特征的方法
基于动力学或响应统计特征的方法主要用于鉴别并剔除响应中的谐波响应，消除谐波激励的不良影响。用于鉴别激励谐波的动力学特征主要包括模态置信准则（modal assurance criterion，MAC）、模态振型、CMIF等，响应统计特征主要包括信号包络、概率密度函数（probability density function，PDF）、峰度（kurtosis）等。
当谐波激励频率与各阶真实模态频率相隔较远时，该谐波可激励出多阶真实模态，辨识对应的“谐波振型”与各阶真实模态振型具有很强的相关性，由这一特性即可根据MAC矩阵鉴别谐波频率。然而，该方法在谐波频率与各阶真实模态相隔较近、传感器数目少或传感器布局较差的情况下失效，因为在这些情况下，各阶真实模态之间本身就具有很强的相关性。基于模态振型比较的方法的原理与基于MAC的方法相似，与真实模态相隔较远的谐波激励对应的“谐波振型”是附近几阶真实模态振型的叠加，据此可区分真实模态振型与“谐波振型”。该方法存在的问题与基于MAC的方法相同。
基于CMIF的方法的理论基础与上述两种方法类似。其对响应PSD矩阵进行奇异值分解，由于远离各阶真实模态的谐波激励可激励出多阶真实模态，因此谐波主频处响应PSD矩阵的秩显著大于1，据此可确定谐波激励的频率。该方法存在的问题与上述两种方法类似，且对于幅值很大的谐波响应，该方法的结果也不稳定。文献［125，126］对上述方法进行了综述。
基于信号包络的方法主要根据信号本身或相关函数的幅值包络曲线形状来区分谐波响应和随机响应。Antoni等［127］在总结已有谐波检测方法的基础上，提出了两种方法，以区分信号中的谐波分量和随机分量：第一种方法的依据是信号包络统计特征，但仅对纯音（pure tone）信号有效；第二种方法根据谐波分量和随机分量的自相关函数衰减率不同对两种分量进行鉴别。Modak等［128］提出的基于随机减量特征（randomdec signature）的谐波消除方法与此类似。基于信号包络的方法在处理随机响应时需要计算响应的自相关函数，因此该方法更适用于时不变结构的模态参数辨识。
Brincker等［129］提出了基于响应概率密度函数（PDF）区分结构的谐波响应和随机响应。结构随机响应的PDF近似于高斯分布，其PDF曲线呈钟形；而谐波函数的PDF不具备高斯特性，其PDF曲线两端高、中间低，呈马鞍形。首先，采用FDD方法确定结构响应中的所有峰值频率；然后，在每个峰值频率处，通过带通滤波器和傅里叶逆变换求出结构各阶模态响应并绘制直方图；最后，根据各阶模态响应的直方图形状即可判定是否为谐波响应。该方法的应用前提是通过滤波来分离出每个峰值频率对应的响应分量。
基于PDF的方法依赖于对直方图形状的直观观察，而峰度系数可对其进行定量描述。Jacobsen等［130］和Andersen等［131］首先在关心频率处对信号进行窄带带通滤波，随后计算滤波信号的峰度系数，对于多个传感器测量信号，取所有传感器的峰度系数平均值或中值，作为该频率点的峰度系数。
此外，在模态参数辨识中还有多种峰度系数计算方法。Antoni［132，133］与Vrabie等［134］提出了谱峰度（spectral kurtosis，SK）系数，用于谐波响应检测。Dion等［135，136］提出了优化谱峰度（optimized spectral kurtosis，OSK）系数，其物理含义与SK系统相同，只是计算方法有所区别，他们将OSK系数用于时域计算，消除了频域方法频率分辨率降低的问题，且计算效率有所提高。巴悦［137］比较了基于PDF、峰度值和谱峰度检测谐波的方法，结果表明谱峰度法具有全频带检测、无须滤波处理和抗噪性强的优点；其还在此基础上对比了三种谐波剔除方法的性能。
4.与激励频谱形式无关的新方法(https://www.daowen.com)
基于传递率的模态参数辨识方法是这类方法的代表。传递率的概念最早由Liu等［138］提出，其在频域定义，用于表征链式弹簧-质量块系统频响函数之间的关系。同年，Varoto等［139］将传递率概念拓展到多自由度系统，但其提出的表达形式难以实际应用。真正能用于实际的多分量传递率定义由Ribeiro等［140］提出，通过频响函数即可计算得到系统的响应传递率函数。Foutul等［141］从理论上证明了传递率的值与作用在系统上的激励形式无关，只与激励的作用位置及“参考”与“非参考”响应通道的选择有关。基于该特性，Guillaume等［142］和Devriendt等［143，144］相继提出了基于传递率的模态参数辨识方法。此后，为了解决方法中虚假极点较多的问题，Devriendt等［145］利用所有测量获得的单参考传递率构造矩阵，降低了真实极点缺失和出现虚假极点的概率。孙倩等［146］为降低选择虚假极点的风险，提出了一种基于多个激励工况下响应传递比函数的模态参数辨识方法，并将其应用到桥梁的模态参数辨识中。Guillaume等［147］将单参考传递率拓展到多参考形式，并利用两种工况下的伪标量传递率函数之差进行模态参数辨识。Weijtjens等［148，149］结合不同载荷工况下的多参考传递率函数矩阵，进行模态参数辨识。周思达等［150］对上述方法进行改进，通过矩阵伪逆解决了载荷工况数／响应点数／参考点数三者之间的约束问题。Maamar等［151-153］基于数值仿真、梁实验和车床加工实验，将基于传递率（transmissibility function-based，TFB）的辨识方法与SSI方法、EFDD方法对比，验证了TFB方法的有效性。
上述基于单参考传递率或多参考传递率的模态参数辨识方法虽可消除非白环境激励的影响，但需结合多个不同载荷工况下的响应信号才能辨识。Yan等［154］提出了功率谱密度传递率（power spectral density transmissibility，PSDT）的概念，并结合同一工况下不同转移通道对应的PSDT函数，成功辨识出结构的模态参数，该方法克服了之前传递率方法需要不同载荷工况的弊端。在此基础上，Yan等［155］采用公分母（common-denominator）模型对PSDT构造的函数参数化建模，辨识结构模态频率和阻尼比，通过PSDT矩阵来辨识模态振型，并构造稳定图，提升了原方法的性能。Araújo等［156］将不同转移通道的PSDT函数置于一个矩阵，构造功率谱密度函数传递率矩阵（PSDTMatrix，PSDTM），对该矩阵进行奇异值分解，提出了PSDTM-SVD模态参数辨识方法，降低了PSDT辨识虚假极点的概率。后续，Araújo等［157］将单参考PSDT函数拓展到了多参考形式，基于所有转移通道的多参考PSDT构造矩阵，结合SVD方法求该矩阵的截断伪逆矩阵，采用右矩阵分式（right-matrix fraction）模型辨识结构模态参数，该方法具有很高的鲁棒性与可靠性，在桥梁等实际工程结构上得到了应用。针对上述方法中计算伪逆矩阵需要确定奇异值阶数的问题，Araújo等［158］限定截断伪逆矩阵与原矩阵的百分比差异，提出了一种自动判定奇异值阶数的方法。Khodaygan［159］采用PolyMAX方法对多参考PSDT矩阵的逆矩阵参数化建模，结合稳定图提升了辨识效果。Do等［160］基于数值算例和实验验证了PSDTM-SVD方法的有效性，结果表明PSDTM-SVD仅在激励谐波幅值较小时有效。响应传递率与功率谱密度传递率均在频域定义。Li等［161］从理论上比较、分析了不同工况下单参考传递率与单参考PSDT的输入谱无关性和系统极点处的收敛性，并通过数值和实验进行了验证，后续进一步分析了不同激励工况下多参考传递率的零极点特性和对输入谱的依赖性［162］，并从传递率概念、计算方法及应用三个方面对传递率在工作模态分析中的应用进行了综述［163］。
从基于传递率的模态参数辨识方法的演变来看，其经历了从单参考向多参考、从各通道对应的传递率单独用于辨识到所有通道的传递率构造矩阵进行SVD计算、从需多工况响应到只需单工况响应的发展过程，该方法具有物理含义清晰、无须非白激励主频先验信息、可处理多种形式非白激励等优点，如今在大型工程结构的模态参数辨识、故障诊断、模型更新等领域逐步得到广泛应用。
上述四种方法中，直接利用激励主频先验知识的方法需要对结构所受激励有深入的认识，因此其应用受到极大限制；基于信号处理的方法和基于统计特征的方法只能消除激励中谐波成分的影响，对于图1.3（b）所示的非白激励不适用；基于两种传递率的辨识方法可处理包括谐波、非白随机噪声等载荷形式下的辨识问题，且具有无须载荷先验知识的优点。其主要问题在于，两种传递率均在频域定义，已有传递率模型均为频域模型，故应用前需采用傅里叶变换将测量的时域响应转换至频域。然而，该转换存在能量泄漏，严重影响模态参数（特别是阻尼比）的辨识精度，无法有效辨识结构的低阶模态。虽然可通过加窗来抑制能量泄漏，但这会降低数据的频率分辨率，如汉宁窗使得频率分辨率变为不加窗情况下的1／2［6］；此外，加窗将导致两端数据接近0，从而降低数据的使用率。
1.2.3.2 非高斯脉冲噪声问题及研究进展
目前，工程结构在服役阶段的外场振动环境复杂严苛，并且外场振动载荷往往不都是平稳高斯的，如火箭地面机动时所经历的路面不平和变车速引起的振动，运载火箭助推飞行中湍流边界层的压力波动，或者更普遍的风、波浪和高振幅噪声载荷等［164］，平稳随机过程不再适用于描述非高斯随机振动载荷。由多种非高斯随机振动激励激发的非平稳响应信号，使得噪声分布不再满足高斯假设，传统估计方法在非高斯假设下不再具有最优性，估计性能退化严重。因此，为了适应结构复杂的外场激励工况，发展非高斯假设下的模态参数估计方法是结构模态辨识亟须解决的关键问题之一。
针对非高斯条件下的估计方法，国内外学者的研究成果集中于时域，主要分为两类——粒子滤波类方法、稳健统计类方法［165］。
1.粒子滤波类方法
针对时变结构的非平稳响应信号，滤波类方法采用时变状态空间模型（state space，SS）描述动态系统，其中系统方程描述系统状态随时间演化的历程，观测方程描述噪声在状态量中的影响。卡尔曼［166］在1960年提出了适用于高斯线性系统状态的递推时域滤波方法，这标志着现代滤波理论的建立。该方法具有简洁的数学描述和极高的计算效率，以及基于贝叶斯估计理论所建立起来的严谨数学框架，使得其一经提出就得到各界的广泛推崇。真实工况下系统的观测噪声往往不满足高斯分布，尤其当观测噪声分布呈现厚尾（heavytailed）形状时，传统滤波方法性能将严重下降。近年来，随着计算机技术的快速发展，基于非参数化Monte-Carlo方法的粒子滤波（particle filtering，PF）成为解决一类非线性、非高斯随机系统估计问题的有效方法［167］。
常用的估计方法（如最小二乘估计、最大似然估计、最大后验估计、最小方差估计等［168］）属于线性高斯平稳随机过程的最优估计，粒子滤波则属于次优估计，其核心思想是：寻找一组在状态空间中传播的随机样本对概率密度函数进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差估计的过程［169］。20世纪50年代，Hammersley等［170］提出了序贯重要性采样（sequential importance sampling，SIS）算法，使得粒子滤波算法具备了真正意义下的应用条件。受限于当时的计算机技术，且SIS算法本身存在粒子退化（particle degeneracy）的固有问题，当时粒子滤波并没有得到很多关注，直到20世纪90年代，Gordon等［171］提出了采样重要性重采样（sampling importance resampling，SIR）算法，将重采样技术引入SIS算法，在一定程度上缓解了粒子退化问题。然而，由于SIR算法随机复制权值较高的粒子，因此严重退化的粒子集进行无偏采样所得到的粒子就有可能几乎全部源自极少数粒子的自我复制，该问题又被称为粒子多样性匮乏。粒子多样性匮乏将导致滤波精度下降，并且使基于粒子路径多样性的系统状态平滑操作性能下降［172］。优化重采样算法可以减小粒子退化以及改善粒子多样性匮乏问题，Higuchi等［173］将遗传算法引入了重采样步骤，利用遗传算法的子代交叉、变异等操作来增加粒子多样性。Musso等［174］引入正则化方法，缓解了粒子多样性匮乏，并提出了局部拒绝-正则化粒子滤波，提高了重采样效率。Pitt等［175］提出了辅助粒子滤波器（AuxiliaryPF），通过构建辅助变量、利用新时刻系统状态的观测值来赋予粒子权值，并利用该权值对旧时刻的粒子进行重采样，然后将重采样的粒子集转移到下一时刻，由于其考虑了最新观测值的影响，因此预测粒子接近真实状态的可能性更高。Stramer等［176］总结了马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo，MCMC）方法在粒子滤波重采样中的应用，可通过改变算法中的转移步骤来使粒子以更大概率移动到不同的位置，从而增加预测粒子集的多样性。邹国辉等［177］在重采样过程中引入优化组合算法，利用被选中粒子和被遗弃粒子的线性组合来增加粒子集的多样性。方正等［178］将粒子群优化思想引入重采样过程，通过优化来使粒子集向后验概率密度分布取值较大处移动，增强了滤波过程的鲁棒性。
另一类可以改善粒子退化的方法是选择更加接近系统真实状态的重要性概率密度函数。Blanc等［179］将拓展卡尔曼滤波（extended Kalman filtering，EKF）引入粒子滤波，利用EKF产生重要性概率密度函数，提出了EKF-PF融合滤波器。虽然由EKF产生的重要性概率密度函数在一定程度上改善了粒子滤波器的估计性能，但是EKF的线性化假设和高斯假设会引入较多的跟踪误差。针对这一问题，Julier等［180］引入无迹卡尔曼滤波（unscented Kalman filter，UKF），通过U变换来产生重要性概率密度函数，无须线性化假设，从而使其应用范围得到大幅提高。UKF依赖于高斯假设，当系统状态分布不满足高斯假设时，估计性能较差。针对这一问题，Kotecha等［181］利用一系列高斯分布的加权和表征非高斯分布的系统状态，提出了高斯混合粒子滤波器（Gaussian sumparticle filter，GSF），使得算法无须依赖高斯先验假设，进一步拓宽了滤波器的应用范围；其验证算例表明，在系统状态分布服从厚尾分布的情况下，滤波器具有更强的鲁棒性。近年来，一些更具鲁棒性的粒子滤波方法也不断被提出。Yang等［182］提出了一种反馈粒子滤波（feed back PF），利用一组受控的随机粒子定义滤波器，粒子自身的状态和经验分布特征在反馈控制下进行自我演化，在连续观测的扩散上得到较好的效果。Gning等［183］提出了箱粒子滤波器（box PF），将每个粒子定义为状态空间中体积非零的一个“箱子”，对粒子的属性进行拓展，使其承载除状态和权值之外的更多信息，从而获得对状态的更高阶估计。此外，一些智能式、启发式算法的引入，也可以改善粒子退化现象，如杜正聪等［184］引入优化算法，考虑转移先验、似然、噪声的统计特性和最新的观测数据，利用状态参数分解和退火系数来产生重要性概率密度函数，使粒子集向后验概率较大处移动。
粒子滤波作为近年来新兴的解决非线性非高斯系统的一个有效方法，随着计算机技术的发展得到长足的进步。然而，在应用过程中所体现出的缺点仍然需要研究人员进一步去完善，如更优良的重要性概率密度函数的选取方法、更普适的重采样方法、更高效的并行计算方法等。
2.稳健统计类方法
线性随机过程的最优估计取决于随机变量的先验假设，传统估计方法（如最小二乘估计、最大似然估计等）是在高斯意义下的最优估计，当随机变量不满足高斯分布时，传统方法估计性能退化严重。然而，非高斯分布的含义非常广泛，广义上不属于高斯类分布的都属于非高斯分布。因此，在早期非高斯分布的表征手段尚显稚嫩时，研究人员对于非高斯系统的研究往往从系统的观测量出发，寻求非高斯脉冲噪声在系统输出中的影响。非高斯脉冲噪声属于在系统观测量中能够较为容易观测到的一类非高斯脉冲噪声。作为厚尾分布家族的一个子类，其厚尾特性使得随机变量取大值的概率大大增加，引起估计过程中新息或残差增大，从而大大降低了传统估计方法的性能。针对这一类脉冲噪声，研究人员通过设计估计子来使随机过程估计性能向最优估计靠近，这一类方法又被称为稳健估计（robust estimation）［185］。
关于稳健估计，可以追溯到1953年，Box（后任威斯康星大学统计学教授）在其博士论文中引入“Robust”（稳健）一词。Tukey等［186］总结了早期的研究成果，并确定了切尾均值和平均值绝对离差等估计方法的优良稳定性。1964年，Huber［187］为稳健估计做出了开创性工作，他引入了一类灵活的最小最大（minimax）稳健估计子，简称M估计子，并推导了它的一致性和渐进正态等性质，解决了位置参数和尺度参数估计中的渐进极大极小问题。随后，Huber［188］又将其推广到多维参数回归模型的参数估计方面，并指出M估计是非标准意义下的最大似然估计。1974年，Hampel［189］提出了表征稳健性的两个重要概念——影响函数、崩溃点，为基于影响函数的稳健估计奠定了基础。20世纪80年代以来，几种高崩溃点的稳健估计方法被提出，Rousseeuw［190］提出了最小中位数平方估计方法和最小截尾平方估计方法。随后，Yohai［191］提出了强鲁棒S估计，并将高效弱鲁棒的M估计与低效强鲁棒的S估计相结合，提出了MM估计。Efron［192］提出了Bootstrap经典有放回的重采样技术，可以直接通过计算和假设检验来得到样本的分布，这标志着稳健估计进入成熟发展阶段。
近年来，基于信息熵的稳健性估计得到越来越多的关注。熵在更广的意义上描述系统，它是系统不确定性的度量，且熵的性质更能体现非高斯变量的特点，所以熵的概念的引入为非高斯型随机系统的研究注入了新的活力［193］。1957年，Jaynes［194］首次提出了最大熵原理，该理论的出现使我们从诸多相容分布中挑选“最佳”“最合理”的分布成为可能。2006年，Santamaria等［195］对随机过程中的相关函数进行了核化形式的推广，首次提出了自相关熵（autocorrentropy）的概念。Chen等［196］对自相关熵的概念进行了扩展并定义了互相关熵（cross-correntropy），指出最大互相关熵估计是一个平滑的最大后验估计，超参数核宽度控制着平滑的程度。随后，Chen等［197］又在理论上分析了自适应滤波在最大互相关熵准则下的稳态超均方误差，并在非高斯脉冲噪声条件下，基于泰勒展开推导了稳态超均方误差的解析表达式。最大互相关熵估计中的一个关键是核函数的选取，Lee等［198］对该问题进行了研究，并提出了一种新型的具有正定和平移不变性的无参数化核，新内核基于数据累积分布函数，具有与高斯核相当的性能。Chen等［199］提出了一种以广义高斯密度函数为核的广义互相关熵，其验证表明该核具有良好的数值稳定性。核宽度作为最大互相关熵估计的主要参数，大量研究者对其进行了深入探索。Jones等［200］提出了基于密度估计的核宽度选取方法；Singh等［201］基于最小Kullback-Leibler距离准则，提出了核宽度自适应算法；Paiva等［202］提出了一种核宽度不动点更新算法，实现了迭代过程中核宽度的自适应更新。Zhao等［203］基于Middleton非高斯模型，利用峰度作为比例因子调整预测误差的标准差，在线获取并调整了核宽度。
互相关熵具有鲁棒的非线性度量、简洁的数学形式和广泛的适应性，在滤波器、线性回归、机器学习中已得到广泛应用［204-207］。与粒子滤波相比，其可操作性更强，计算代价更小；与传统稳健性统计方法相比，它的表征含义更加丰富，计算格式更简洁。因此，在非高斯问题上，互相关熵值得进一步深入研究。
1.2.3.3 递推辨识问题及研究进展
在某些应用场合，结构振动响应是不断获取的，且结构的振动控制、响应预测、健康监测等工作要求结构模态参数能实时更新。此外，如火箭、卫星等特殊工程结构搭载的存储、处理器等计算硬件资源十分珍贵，要求模态参数辨识方法具有消耗内存小、计算速度快的特点。因此，结构模态参数辨识方法需要采用递推方式。
递推辨识方法主要分为递推子空间方法和基于时间序列模型的方法，其中，三种形式的时间序列模型（UPE、SPE和DPE）均可采用递推格式进行求解［1，165］。
1.递推子空间方法
递推子空间方法的思想是通过引入子空间跟踪算法来改善QR或SVD分解，以降低计算量，使得子空间方法在线使用成为可能。Longman等［208］以递推最小二乘估计为基础，推导出了特征系统实现法的递推格式，实现了最小实现。Cooper［209］以QR分解为基础，推导出了特征系统实现法的递推格式，通过加入指数遗忘因子的方式来追踪时变系数，改善了传统基于QR分解的特征系统实现法的不足，实现了无偏估计。Li等［210］利用递推随机子空间追踪了系统动力学特性。Weng等［211］利用递归子空间方法对建筑结构的模态参数进行了在线辨识，利用高斯白噪声激励信号对实验结构进行了损伤检测。针对递推子空间方法在辨识过程中频繁使用SVD或QR分解引起的辨识效率低下问题，研究人员考虑直接对系统的能观阵进行递推计算。Yang［212］利用递推最小二乘估计和信号子空间投影理论，提出了投影估计子空间跟踪方法。庞世伟等［213］为了改善投影跟踪法计算量不断增加的问题，以基于平移窗投影估计的子空间跟踪算法代替SVD分解，提出了新的用于线性时变结构系统模态参数识别的基于固定长度平移窗投影估计的递推子空间方法，有效降低了算法的计算量。杨凯等［214］针对递推子空间法在跟踪能力上不足的问题，在辨识过程中引入了自然幂迭代和逼近幂迭代技术，得到了两种新的时变结构模态参数快速辨识方法。针对递推子空间算法易受噪声干扰的问题，黄金峰等［215］引入变因子构造和更新输入／输出Hankel矩阵以及观测向量，并根据变因子改进梯度型子空间跟踪算法估计系统的广义能观矩阵，最终利用特征值空间欧氏距离信息更新变因子，实现了算法的自适应性。王佳等［216］在辨识过程中引入辅助变量技术，将子空间辨识问题转换为迭代的最小化问题，并采用递推最小二乘估计在线估计了参数，算法简单且鲁棒性强。递推随机子空间方法在飞行器结构模态在线辨识与健康监测、建筑结构模态参数辨识与损伤识别、高塔结构健康监测等领域已得到应用。
2.基于时间序列模型的方法
基于UPE形式TARMA模型的递推方法主要思路是：引入滑动窗或指数遗忘因子，对旧数据不断舍弃或遗忘，消除或减弱旧数据对当前时刻参数估计的作用，以实现对时变特性的跟踪。滑动窗遗忘机制本质上基于短时时不变假设，其不同在于在递推方法中滑动窗每次只向前移动一个数据点，因此参数估计可写成递推格式。指数遗忘机制通过引入指数遗忘因子来对所有数据点进行指数加权，越旧的数据点其权重越小，从而实现旧数据的遗忘。针对已知输入和输出的递推辨识，Cooper［217］总结并比较了七类时域递推辨识方法，讨论了指数遗忘因子对辨识结果的影响，后续又进一步提出了一种可自适应调节指数遗忘因子的递推估计方法［218］。马骏等［219］针对多输入多输出系统，利用随机逼近原理，提出了六种递推算法的一般形式，揭示了不同时域递推估计方法的内在联系。滑动窗长度与指数遗忘因子大小均对辨识结果具有决定性的影响，其选择需兼顾辨识精度与时变特性跟踪能力。
基于SPE的TARMA模型是介于UPE与DPE之间的一种模型，其模型参数满足光滑先验（smoothness priors，SP）约束。Kitagawa［220］提出了一种随机扰动线性约束TAR模型，采用卡尔曼滤波（KF）与AIC估计模型参数，对非平稳信号进行谱分析。Kitagawa等［221］提出了光滑先验TAR（SP-TAR）模型，并将其用于地震信号的谱分析，后续其团队将该模型拓展为多分量形式［222］与SP-TARMA形式［223］。Avendaño-Valencia等［224］将SP-TARMA模型进一步拓展为广义随机约束TARMA（generalized stochastic constraint TARMA，GSCTARMA）模型，对模型参数进行广义高斯回归约束，并对该模型的参数求解方法进行了深入研究。余磊等［225］进一步将GSC-TARMA模型拓展到多分量形式，采用卡尔曼滤波方法对模型参数进行估计。基于SPE的TARMA模型对参数具有随机特性的信号具有良好的适应性，因此在生物医学信号分析、风速数据建模、风车振动信号分析等领域得到广泛的应用。
基于DPE形式的TARMA模型也可通过递推格式求解，但相关研究较少。除UPE、SPE和DPE三种形式外，Ma等［226］提出了一种基于核化TARMA模型的递推辨识方法，采用递推扩展最小二乘估计来对模型参数进行估计。所提核化TARMA模型通过高斯核函数对TARMA模型参数进行展开，是介于UPE形式与DPE形式之间的一类TARMA模型。马志赛［227］基于UPE形式、核化和DPE形式的TARMA模型，结合机器学习中卡尔曼滤波、贝叶斯回归、脊回归等数学工具，对基于TARMA模型的递推辨识方法进行了深入研究，提出了一系列递推格式，并进行了比较与分析。
