1.2.2　时域模态参数辨识方法

1.2.2　时域模态参数辨识方法

1.2.2.1　时不变结构时域辨识方法

1.Ibrahim时域法

Ibrahim时域（Ibrahim time-domain，ITD）法由Ibrahim提出，该方法根据同时测得的系统位移、速度和加速度自由衰减响应，构造响应数据矩阵，并根据响应与特征值之间的复指数关系求解得到系统特征矩阵，然后通过求解特征值问题即可计算系统的模态参数［56］。后来，Ibrahim［57］对该方法进行了改进，改进后的方法只需测量位移、速度和加速度三种信号中的一种，通过三次不同延时采样来构建响应数据增广矩阵，从而降低了对测量系统的要求［57］；Ibrahim［58］还结合随机减量（random decrement technique，RDT）法对随机激励下的航天结构进行了模态参数辨识。为解决在ITD方法中求解大型特征值的计算量大的问题，Ibrahim［59］提出了一种稀疏时域（sparse time-domain，STD）法，Zaghlool［60］提出了一种衍生的单站时域（single-station time-domian，SSTD）法。

2.多参考点最小二乘复指数法

最小二乘复指数（least squares complex exponential，LSCE）法由Brown等［61］提出。其基本思想是：首先，求解与互相关函数数据有关的自回归方程系数矩阵；随后，根据Prony多项式计算系统极点，系统固有频率与阻尼比可通过系统极点计算得到；最后，根据一组线性方程计算系统的模态振型［62］。Vold等［63］将该方法拓展为多输出形式，形成多参考点最小二乘复指数（polyreference LSCE，pLSCE）法。结合自然激励法（natural excitation technique，NExT），pLSCE法可用于结构的工作模态分析［64，65］。LSCE法在低噪声情况下可获得清晰的稳定图，已成功集成于LMS.Testlab、COINV DASP-Modal等商业模态分析软件中。

3.基于盲源分离的方法

盲源分离（blind source separation，BSS）的目的是在无混合系统的先验知识的情况下，仅依靠被测的混合信号分离得到源信号。在BSS问题中，一个关键点为源信号数目与传感器数目之间的大小关系。若源信号数目小于传感器数目，则称为超定BSS（over-determined BSS）问题；若源信号数目等于传感器数目，则称为适定BSS（well-determined BSS）问题；若源信号数目大于传感器数目，则称为欠定BSS（under-determined BSS）问题［55］。

振动信号分析及模态参数辨识的目的与BSS问题高度重合，若将结构模态矩阵看成混合矩阵，将模态坐标向量看成源信号向量，则BSS中的瞬时混合（instantaneous mixing）模型与模态叠加原理等价。对于超定或适定情况，基于BSS方法的OMA方法（BSS-OMA）主要分为三种：基于源信号高阶统计量的方法、基于源信号二阶统计量的方法、复杂度跟踪方法。对于欠定情况，其求解难度大幅提升，目前常用的方法主要分为三种：对数据进行扩维或对原始BSS问题进行降维的方法、基于稀疏成分分析（sparse component analysis，SCA）的方法、基于张量分解的方法。

1）超定或适定情况下的BSS-OMA方法

基于源信号高阶统计量的BSS方法假设各源信号具有统计独立性。对于高斯信号来说，统计独立和不相关是等价的；但对于非高斯信号，独立是比不相关更强的约束条件，它意味着在包含二阶统计在内的所有更高阶统计上相互独立［66］。独立成分分析（independent component analysis，ICA）和基于四阶统计量的盲辨识（fourth-order blind identification，FOBI）方法是该类方法的重要代表。ICA问题最终可转化为求解优化问题，根据目标函数的不同形式形成了不同的ICA方法，常用的包括互信息最小化方法［67］、非高斯性最大化方法［68］、最大似然方法［69］、熵方法［70］等。FOBI方法首先计算信号的压缩四阶协方差矩阵，随后采用特征值分解的方法求解源信号和混合矩阵［71］。FOBI方法无须求解复杂的优化问题，因此计算效率高于ICA方法。

基于二阶统计量的BSS方法不要求源信号具有统计独立性，仅利用源信号的时序结构（各源信号具有不同的自相关函数或不同的功率谱）、方差时变的非平稳特性等统计意义更弱的条件来进行盲源分离［72］。这类方法主要有多未知信号提取（algorithms for multiple unknown signal extraction，AMUSE）方法和二阶盲辨识（second-order blind identification，SOBI）方法。AMUSE方法的主要思想是将响应信号的两个不同时延协方差矩阵同时对角化，从而可直接求得混合矩阵，在适定或超定情况下，将混合矩阵的逆矩阵与响应信号向量相乘即可求得源信号。SOBI方法是AMUSE方法的扩展，其同时考虑信号的多个不同时延的协方差矩阵，通过联合近似对角化的方法来求得混合矩阵［73］。由于SOBI方法利用了多个协方差矩阵，因此通常认为SOBI方法比AMUSE方法更加稳定，但其计算效率较低［74］。

基于混合信号的时间可预测性均不大于任一源信号的时间可预测性这一推论，Stone［75］提出了一种基于信号时间可预测性的盲源分离方法，奠定了复杂度跟踪（complexity pursuit，CP）方法的基础。Hyvärinen［76］在投影跟踪（projection pursuit）和ICA的基础上，提出了一种基于近似柯氏复杂度（kolmogorov complexity）的盲源分离方法，并将其命名为CP方法。Antoni等［77］指出，CP方法旨在分离得到两个任意光滑滤波器下的最小不变分量。在此基础上，其通过引入多个滤波器来提升CP方法的鲁棒性，并分析了扩展CP方法与AMUSE方法、SOBI方法的区别与联系。与SOBI方法相比，CP方法所需的人工参与更少，对数据长度的敏感度更低。

2）欠定条件下的BSS-OMA方法

上述ICA、AMUSE、SOBI、CP等方法均在源信号空间进行求解，意味着混合矩阵必须可逆，这对于适定或超定BSS问题通常是成立的，但对于欠定BSS问题是一定不成立的。因此，欠定条件下的求解在BSS问题中属于主要难点之一。

解决欠定条件下BSS问题的最直接方法就是将全频带划分为多个子频带，从而降低原始BSS问题的维度，保证每个子频内满足适定或超定条件，即可直接采用ICA、SOBI、CP等方法来辨识结构的模态参数［78-80］。另一种降维方法是基于Hilbert变换将响应转换为解析信号，同时将系统状态空间模型写成解析形式，通过删除多余的复共轭项，可将系统真实阶数降为原来的一半［81］。与原BSS问题降维方法对应的是信号扩维方法，目前常用的数据扩维方法主要有两种，一种是利用Hankel矩阵代替信号协方差矩阵［82］，另一种是引入滤波器对信号进行扩维［79］。

基于稀疏成分分析的欠定BSS方法基本采用Bofill等［83］提出的两步法：第1步，利用聚类的方法估计混合矩阵；第2步，根据估计出的混合矩阵和混合信号对源信号进行恢复。在第1步中，可通过傅里叶变换（或时频变换）将原始时域信号转换至频域（或时频域）来实现信号稀疏化［83，84］，通过信号的稀疏表示来估计混合矩阵的常用方法有单位圆上势函数极大值点求解的方法［83］、聚类方法［85］、Winner-takes-all算法［86］、基于大数定律（law of large numbers）的方法［87］等；在第2步中，已知混合矩阵求解源信号的常用方法有SPD［83］、最小l1范数法［85］、子空间投影法［84］、FOCUSS（focal underdetermined system solver）［88］等。

基于张量分解的盲源分离方法核心思想是：将所有不同时延下的响应信号协方差矩阵写成三阶张量的形式，通过正则分解［89］或平行因子分析方法［90］，借助多重线性代数运算将其分解为一系列一阶张量的和，由分解结果即可直接求得混合矩阵与源信号的相关函数［91］。基于张量分解的盲源分离方法可处理超定盲源分离问题，在传感器数目满足一定条件的情况下，也可直接处理欠定盲源分离问题［92］。(https://www.daowen.com)

基于BSS的辨识方法所需的先验知识较少，且均直接或间接利用了特征值分解，因此对于密频模态辨识效果优异。BSS方法与基于子空间的辨识方法具有内在联系，在特定条件下后者是前者的特例。与子空间方法相比，BSS方法的精度略有提升，但计算量大，且受传感器数目的影响较大。

4.随机子空间辨识方法

随机子空间辨识（stochastic subspace identification，SSI）方法基于系统状态空间模型，根据实现过程的不同，可将其分为数据驱动的SSI（DATAdriven SSI，SSI-DATA）方法［93］和协方差驱动的SSI（covariance-driven SSI，SSI-COV）方法［25］。前者直接利用响应数据构造Hankel矩阵，计算未来输出在过去输出上的投影矩阵；后者则利用响应信号的协方差矩阵构造Toeplitz矩阵，其后续步骤与前者的基本相同［19］。对矩阵加权后进行奇异值分解，根据奇异值和奇异向量来计算扩展的可观矩阵和可控矩阵，通过扩展可观矩阵计算系统的状态矩阵和输出矩阵，对状态矩阵进行特征值分解，即可计算系统的模态频率和阻尼比，结合输出矩阵计算系统的模态振型。根据加权矩阵的不同，主要形成了三种方法：主分量（principal components，PC）方法、非加权主分量（unweighted principal components，UPC）方法及规范变量分析（canonical variate analysis，CVA）方法［25］。SSI-DATA方法与SSI-COV方法在辨识精度上几乎没有区别，SSI-DATA方法的数值稳定性更好，而SSI-COV的计算效率更高。

SSI方法辨识精度较高，对信号测量噪声具有较强的鲁棒性且可辨识密集模态，在桥梁建筑、农业机械、旋转机械、航空航天器等工程结构的模态参数辨识中得到广泛应用，但该方法难以推广至时变结构的模态参数辨识，已有的基于递推子空间方法辨识精度普遍较低。

5.时间序列法

时间序列法以带外部激励的自回归滑动平均（autoregressive moving average with exogenous input，ARMAX）模型为基础，通过最小化测量信号与参数化模型预测信号之间的误差来估计模型参数，随后根据模型参数与结构模态参数之间的联系计算得到模态参数，属于预测误差方法（predicted error method，PEM）［19］。在模态参数辨识中除了完整的ARMAX模型外，还有多种变形，其中常用的包括自回归滑动平均（ARMA）模型［94］、带外部激励的自回归（ARX）模型［95］、自回归（AR）模型［96］。

基于时间序列模型的辨识方法稀疏性好、精度高，但其模型阶数较难确定，通常借助于赤池信息量准则（Akaike information criterion，AIC）、贝叶斯信息量准则（Bayesian information criterion，BIC）、残差平方和（residual sum of squares，RSS）等准则进行选取［97］。

1.2.2.2　时变结构时域辨识方法

针对时变结构的时域辨识方法可分为批量（batch）辨识和递推（recursive）辨识两类。批量辨识是指在获得整个时间历程的结构动力学响应后，通过所有测量数据来辨识整个时间历程中的结构模态参数；递推辨识是指在获得新的测量数据后，无须将所有数据重新代入辨识模型，只需根据新数据对之前时刻的辨识结果进行递推更新，即可获得最新时刻的结构模态参数。本小节只介绍批量辨识方法，递推辨识方法将在1.2.3.3节详细介绍。

与频域方法相同，上述时域辨识方法也可基于短时时不变假设，处理时变结构的模态参数辨识问题。结合短时时不变假设，特征系统实现（eigenvalue realization algorithm，ERA）［98］、LSCE［64］、SSI［99］、ARMA［100］、BSS［101］等方法已成功应用于航空器、航天器、桥梁等结构的模态参数辨识中。

除短时SSI以外，基于SSI的批量方法研究较为有限。Jhinaoui等［102］基于弗洛凯定理，提出了一种适用于线性周期时变结构的SSI模态参数辨识方法，并通过直升机旋翼模型进行了验证。

与基于状态空间模型的批量方法相比，基于时间序列模型的批量方法优势明显，应用更为广泛。对非平稳信号建模时，时间序列模型的参数随时间变化，变为时间相关AR（time-dependent AR，TAR）模型或时间相关ARMA（time-dependent ARMA，TARMA）模型。根据TARMA模型时变参数的数学结构形式，可将其划分为三类［97］：

（1）非结构化（unstructured parameter evolution，UPE）模型，其参数可随时间任意变化，没有数学结构上的限制，一般通过短时时不变假设来将其转化为分段ARMA模型或采用递推方法求解。

（2）随机结构化（stochastic parameter evolution，SPE）模型，其时变参数满足光滑先验约束，也称为光滑先验模型（如SP-TAR、SP-TARMA等模型），一般通过递推方法求解。

（3）确定结构化（deterministic parameter evolution，DPE）模型，其时变参数表示为泛函序列的展开，展开系数不随时间变化，形成了泛函序列TAR（functional series TAR，FS-TAR）模型和泛函序列TARMA（functional series TARMA，FS-TARMA）模型。

在上述三类TARMA模型中，模型参数的求解方式决定了批量辨识方法一般采用DPE形式的TARMA模型。1970年，Rao［103］提出了采用低阶多项式时间函数对TAR模型的时变参数进行展开，即后来的FS-TAR模型。Grenier［104］将FS-TAR拓展至FS-TARMA模型，分别讨论了Levinson自回归方法、Cadzow方法、Burg方法、Prony方法向FS-TARMA的拓展情况，并从理论上证明了FS-TARMA模型描述非平稳系统的存在性和唯一性。Gersh等［105］将单分量FS-TAR模型拓展至多分量形式，增强了FS-TAR模型的表征能力。Spiridonakos等［106］将多分量FS-TAR模型拓展为多分量FS-TARMA形式，形成了FS-VTARMA模型。用于模型参数展开的泛函序列主要包括三角函数、Chebyshev基函数、Legendre基函数等［107］，为增强对时变特性的局部表征能力，学者们提出了一系列自适应的基函数，如紧支径向基函数［108］、无网格形函数［109］、B样条基函数［110］、小波基函数［111］等。Spiridonakos等［107］从模型形式、参数估计方法、模型结构选择等方面对DPE形式的TARMA模型进行了全面综述。