1.2.1　频域模态参数辨识方法

1.2.1　频域模态参数辨识方法

1.2.1.1　时不变结构频域辨识方法

对于时不变结构的工作模态分析而言，通常先通过Welch等［21］方法估计出响应信号的功率谱密度（power spectral density，PSD）函数，代替传统EMA方法中系统的频响函数；随后，根据估计的PSD函数进行模态参数辨识。目前比较常用的模态参数辨识方法有峰值提取法、频域分解法、增强频域分解法、最小二乘复频域法。

1.峰值提取法

峰值提取（peak picking，PP）法［6，10］也称基本频域（basic frequency domain，BFD）法，该方法根据频率响应函数的峰值来确定结构的模态频率，结合半功率点幅值来确定结构的阻尼比，利用峰值幅值来估计模态振型。将频率响应函数替换为PSD后，可直接用于结构的工作模态分析［22，23］。类似方法还有圆拟合（circle fitting）法［6，10］。

峰值提取法和圆拟合法均属于单自由度方法，其特点是简单、直接，但无法辨识密集模态，只能处理比例阻尼系统且模态阻尼辨识精度低［22］，当模态阻尼过大或测量点接近模态节点时，将导致模态丢失［19］。

2.频域分解法

频域分解（frequency-domain decomposition，FDD）法［24，25］是EMA方法中复模态指示函数（complex mode indicator function，CMIF）方法在OMA中的扩展。首先，对响应信号互功率谱密度函数矩阵进行奇异值分解；然后，在分解后的单自由度PSD函数峰值附近采取PP法辨识结构各阶的模态参数。与PP法相比，频域分解法利用了奇异值分解，可有效辨识结构的密频模态，但各个频率点奇异值阶数配对困难。

3.增强频域分解法

增强频域分解（enhanced FDD，EFDD）法是FDD法的改进［21，26］，其将分解后的单自由度PSD函数通过傅里叶逆变换转换至时域，得到单自由度系统的相关函数，然后根据每秒内相关函数的零点个数来估计模态频率，根据相关函数的对数衰减斜率来确定阻尼比。与FDD法相比，增强频域分解法的模态频率和阻尼比均在时域辨识，且不依赖于傅里叶变换的频率分辨率。

PP法、FDD法、EFDD法均属于非参数化方法，不对响应数据建立任何参数化模型。非参数化方法需要大量的人为参与，在选择峰值时受主观性的影响较大，且辨识精度较低。

4.最小二乘复频域法

最小二乘复频域（least square complex frequency-domain，LSCF）法最早由Auweraer等［27］提出，其基本思想是通过有理分式模型或矩阵分式模型来对系统频响函数矩阵进行建模，估计出模型参数后即可计算得到结构模态参数。Guillaume等［28］提出了多参考的最小二乘复频域（polyreference LSCF，pLSCF）法，其商业名称为PolyMAX。若将系统频响函数矩阵替换为响应功率谱密度矩阵，则该方法可直接拓展为OMA方法。PolyMAX方法稀疏性好、辨识精度高、对于噪声的鲁棒性较强，并可构造清晰的稳定图，在LMS TestLab、COINV DASP-Modal等商业软件中均有应用。最小二乘复频域法的主要缺点是无法有效辨识结构的密频模态。

1.2.1.2　时变结构频域辨识方法

在激励为平稳宽带白噪声的假设下，时不变结构的响应信号是平稳的，其模态频率不随时间变化，因此可采用傅里叶变换将信号直接转换至频域进行分析。然而，对于时变结构而言，由于其模态参数随时间变化，响应呈现非平稳特性，故对其进行傅里叶变换的结果无法反映信号随时间变化的特性，因此针对时不变结构的模态参数辨识方法不能直接运用到时变结构中。

1.基于短时时不变假设的方法

对于时变特性缓慢的系统，可采取滑动窗或短时时不变假设（即假设在滑动窗内其动力学特性固定不变），采用时不变结构模态参数辨识方法进行辨识，不断移动滑动窗，直至辨识出整个时间段内的结构模态参数。

理论上，所有针对时不变结构的方法均可利用滑动窗方法来辨识时变结构的模态参数。结合短时时不变假设，PolyMAX［29，30］、FDD［31，32］等方法均已成功应用于飞机、运载火箭等工程结构的模态参数辨识中。该方法的缺点是：滑动窗长度需兼顾辨识精度与时间分辨率，若滑动窗太短则辨识精度低、方差大，若滑动窗太长则时间分辨率低、时变跟踪能力弱。

2.基于时频分析的方法(https://www.daowen.com)

时频分析（time-frequency analysis，TFA）通过在时间-频率二维平面内建立联合分布函数来获得非平稳信号的某种时频表征（time-frequency representation，TFR），可解决传统傅里叶变换在分析非平稳信号时的困难。通过信号的TFR，我们可直观地看出信号中频率随时间的变化情况及各频率的相对幅值信息。

1）基于线性TFA的非参数化辨识方法

线性TFA可获得非平稳信号的时频谱，且具有可逆性，如加窗傅里叶变换（windowed Fourier transform，WFT）、小波变换（wavelet transform，WT）、Gabor变换等。

Conforto等［33］分析表明，与短时傅里叶变换（short-time Fourier trasnform，STFT）和Choi-William分布相比，TAR模型获得的TFR具有最高的频率分辨率。Zhu等［34］提出了一种自适应窗长的STFT方法，对具有时变特性的悬索桥模型和钢框架模型的模态参数进行识别。

WT相对于STFT的主要优势在于其采用矩形窗的长度随信号频率成分变化，具有自适应性。针对噪声影响下小波脊线模糊、能量分布不集中的问题，Wang等［35］引入罚函数项，提出了一种小波脊线提取的动态优化方法；Daubechies等［36］提出了同步压缩小波变换（synchrosqueezing WT，SWT），对WT系数进行重排，以增强信号在时频面内的能量集中程度和小波脊线的清晰度；Thakur等［37］与Iatsenko等［38］对同步压缩技术中的基本理论、计算方法进行了全面综述。

基于线性TFA的非参数化辨识方法非常直观，可快速获得结构振动信号中的频率时变规律，但时间分辨率和频率分辨率普遍较低，特别是对于随机振动信号，该方法获得的TFR能量分散，对模态阻尼比和模态振型的辨识精度较差。

2）基于双线性TFA的非参数化辨识方法

双线性（或二次）TFA可获得非平稳信号的时频功率谱，一般不具有可逆性，主要以Wigner-Ville变换（Wigner-Ville transform，WVD）为核心的Cohen类变换等。与线性TFA相比，由于双线性TFA不具有可逆性，且存在交叉项等问题，因此在结构模态参数辨识中的应用较少。然而，双线性TFA可估计多维响应信号的时间相关功率谱密度矩阵，相较于线性TFA，双线性TFA的这一优势为参数化的时频域辨识方法提供了条件。

Bonato等［39］提出了一种基于Cohen类变换的时变结构模态参数辨识方法，并分析了Cohen类中不同核函数对辨识结果的影响。Han等［40］提出了一种定向Wigner分布（directional Wigner distribution，dWD），对旋转机械的模态参数进行辨识，结果表明，该方法辨识精度较高且可有效降低干扰项。Lee等［41］采用定向Choi-William分布（directional Choi-William distribution，dCWD）对旋转机械的模态参数进行辨识，结果表明，dCWD消除了交叉项及前后向谐波分量之间的干扰项，与Wigner分布相比，dCWD获得的TFR更清晰，辨识精度更高。

基于双线性TFA的非参数化辨识方法的最大缺点在于不同频率之间存在交叉项，这严重影响辨识精度。交叉项可通过核函数进行抑制，但核函数的使用不仅会降低时间分辨率和频率分辨率，而且对于随机信号而言仍无法完全消除交叉项的影响，故当结构时变规律复杂时获得的TFR质量较差。

3）基于双线性TFA的参数化辨识方法

双线性TFA方法可获得结构响应信号的时频功率谱矩阵，Zhou等［42］借鉴时不变结构中的参数化辨识方法，提出了一种参数化时频域时变模态参数多步辨识方法，有效解决了“一步”辨识方法中正则方程规模大导致的计算量大的问题；Zhou等［43］后续发展了一种时频基函数，对光滑伪WVD变换（smooth pseudo WVD，SPWVD）获得的TFR进行参数化建模，提出了一种时频域时变模态参数最大似然辨识方法。王岩松［44］将该方法拓展至多参考形式，并分别提出了多参考时频域时变模态参数最小二乘法与最大似然估计法。

基于双线性TFA的参数化辨识方法可通过指定带宽来增强弱模态的辨识效果，对于低阻尼比的模态辨识效果较好，但其性能受制于TFR的质量，当结构的时变规律复杂时，难以获得有效的辨识结果。

4）基于Hilbert-Huang变换的辨识方法

Hilbert-Huang变换（Hilbert-Huang transform，HHT）由Huang等［45，46］提出，分为经验模态分解（empirical mode decomposition，EMD）与Hilbert变换（Hilbert transform，HT）。第1步，EMD将原始信号分解为一系列完全的、自适应的、正交的解析信号，称为本征模函数（intrisic mode function，IMF）；第2步，采用HT获得各IMF的瞬时频率和阻尼（即时变结构的模态频率和阻尼比），根据不同参考点IMF的幅值信息即可求得结构的模态振型。

HHT根据信号本身的不同时间尺度对信号进行分解，是自适应的，无须引入多余的先验信息，可分析非平稳和非线性信号，在振动信号处理和结构模态参数辨识领域被广泛应用［47-50］。针对HHT在应用中存在的一系列问题（如端点效应（end effect）［51］、模态混叠（mode mixing）［50］、IMF判据确定［52］、无法辨识弱模态［48］等），众多学者提出了包括集合经验模态分解（ensemble EMD，EEMD）、变分模态分解（variational mode decomposition，VMD）在内的一系列改进方法［53-55］。

对于自由响应信号或脉冲响应信号，HHT及其改进方法可获得较好的辨识结果，但其对随机振动信号的辨识效果很差。