3.2.1　频域传递率

3.2.1　频域传递率

3.2.1.1　频域响应传递率的概念与计算方法

对于如图3.1所示的Ni个输入、No个输出的多自由度系统，将关心的No个输出分为不重叠的两部分：一部分称为参考输出，用下标“K”表示；另一部分称为非参考输出，用下标“U”表示。该多自由度系统参考输出与非参考输出之间的响应传递率矩阵可写为［274］

图3.1　多自由度系统输入／输出点集合划分

（a）系统输入／输出关系；（b）输出响应点集合

若参考点数目等于激励点数目，即满足NK＝Ni，则传递率矩阵可写为

式中，HUA（p）、HKA（p）分别表示非参考响应集合“U”与参考响应集合“K”对应的传递函数矩阵；上标“-1”表示矩阵求逆运算。

若参考点数目大于激励点数目，即满足NK＞Ni，则传递率矩阵可写为

式中，上标“＋”表示矩阵伪逆运算。

若参考点数目小于激励点数目，即满足NK＜Ni，则传递率矩阵不可直接通过传递函数矩阵表示。

在已知系统的传递函数矩阵且满足NK≥Ni的情况下，可根据式（3.2）或式（3.3）计算传递率矩阵。在实际中，传递函数矩阵H（p）一般未知，只能采用测量的系统输入／输出信号进行估计。对于传递率矩阵而言，同样可根据系统的输出响应信号进行估计。若只考虑频率变量，即对于连续系统取p＝iω，对于离散系统取p＝e-iωTs（Ts为采样间隔），则系统传递函数矩阵变为系统频率响应函数矩阵。借鉴频率响应函数矩阵的估计方法，只考虑频率变量的传递率矩阵也可通过H1方法估计［147］，由式（3.1）有

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式中，SUK（Ω）、SKK（Ω）分别为输出xU（t）、xK（t）的互功率谱矩阵和输出xK（t）的自功率谱矩阵。对于连续系统，Ω＝iω；对于离散系统，Ω＝e-iωTs。

除式（3.4）所示的非参数化估计方法外，传递率函数矩阵还可通过参数化方法估计，其中常用的参数化模型为频域左矩阵分式模型：

式中，D（Ω）∈CNU×NU，N（Ω）∈CNU×NK，分别表示分母系数矩阵和分子系数矩阵；附加项l（Ω）∈CNU×1，考虑有限数据长度效应，可消除数据的初值和终值的影响，提升估计精度，具体理论推导参见文献［275］。

进一步对三个系数矩阵展开：

式中，nD、nN表示人为选择的模型阶数；矩阵Dj、Nj和向量lj均为常值。

将式（3.6）的展开形式代入式（3.5），可得到一个超定线性方程。同时注意到将矩阵Dj、Nj和向量lj同时乘以一个非零常数，式（3.5）仍然成立，因此需对矩阵Dj、Nj和向量lj采用一定的约束。例如，令D0为单位矩阵，随后即可采用线性最小二乘、最大似然等方法估计矩阵Dj、Nj和向量lj的值。由于附加项l（Ω）的作用是考虑有限数据长度的影响，故将其忽略。最终可求得传递率矩阵如下：

3.2.1.2　功率谱密度传递率的概念及计算方法

3.2.1.1节中的响应传递率描述的是系统输出响应之间的传递关系，而功率谱密度传递率描述的是响应功率谱密度函数之间的传递关系。对于如图3.1所示的多自由度系统，将转换响应点用上标（下标）“Z”表示，参考响应点与非参考响应点分别用下标“K”和“U”表示，功率谱密度传递率矩阵定义为［157］

式中，SZU（p）为转换响应向量xZ（t）和非参考响应向量xU（t）之间的互功率谱矩阵；SZK（p）为转换响应向量xZ（t）和参考响应向量xK（t）之间的互功率谱矩阵，即

式中，上标“*”表示共轭。

功率谱密度传递率矩阵可根据式（3.8）计算，但在一般情况下不可直接通过系统传递函数矩阵计算，具体分析见3.3节。此外，功率谱密度传递率矩阵还可通过左矩阵分式模型估计，其步骤与3.2.1.1节中响应传递率矩阵的估计方法相同，不再赘述。