3.2.2 时域传递率
3.2.2.1 时域响应传递率的概念与计算方法［1，273］
式（2.14）所示的连续时间微分方程可转化成离散时间差分方程，如下：
式中，x［t］和f［t］分别为x（t）和f（t）的离散形式；［t］为第t个离散时刻；na、nb为差分方程阶数，且满足na≥nb；Ai∈ℝNo×No，Bi∈ℝNo×Ni，均为差分方程第i阶系数矩阵。
引入前移算子q，即qx［k］＝x［k＋1］，则式（3.11）可写成
式中，INo为No维单位矩阵。
若系统初始条件为0，式（3.12）可在z域表示为
根据式（3.13），该时不变系统的传递函数可写为
若取z＝exp（i2πf Ts），其中f表示频率（Hz），则式（3.14）表示的系统传递函数矩阵变为系统的频响函数矩阵。由式（3.14）可知，系统传递函数反映的是系统输出与输入之间的关系。由3.2.1节可知，传递率反映的是系统参考输出与非参考输出之间的传递关系，在z域可写为
式（3.15）与式（3.13）具备相似性，系统参考输出与非参考输出之间的传递关系可通过时域差分方程表示为
式中，Ci∈ℝNU×NU，Di∈ℝNU×NK，均为系数矩阵。
传递率矩阵可表示为
由于传统的传递率矩阵均在频域定义，因此求解传递率矩阵前需要借助傅里叶变换将时域数据转换为频域数据。然而，式（3.16）是在时域表示的，因此只需在时域估计出系数矩阵Ci、Di，频域传递率矩阵即可通过式（3.17）求得。该过程直接采用时域数据计算系统的传递率矩阵，避免了数据从时域向频域的转换，去除了傅里叶变换过程中引起的能量泄漏、窗函数选择等影响。
为估计式（3.16）中的系数矩阵Ci、Di，引入ARX模型：
(https://www.daowen.com)
式中，e［t］为零均值互不相关的新息序列。
基于式（3.18）所示的ARX模型，系数矩阵Ci、Di可通过最小二乘方法估计。
3.2.2.2 相关函数传递率的概念与计算方法［1，273］
功率谱密度传递率描述的是输出xU和xZ的互功率谱密度SUZ（z）与输出xK和xZ的互功率谱密度SKZ（z）之间的关系，可写为
当输出点集合Z只含一个元素Zi时，SUZ（z）与SKZ（z）均为列向量，则式（3.19）变为
式（3.20）与式（3.13）具有相似性，注意到频域的互功率谱密度函数对应时域的相关函数，因此xU和xZi的互相关函数hZi U与输出xK和xZi的互相关函数
之间的关系也可通过差分方程表示：
式中，na、nb为差分方程阶数；Ai∈ℝNU×NU，Bi∈ℝNU×NK，均第i阶系数矩阵。
若系统初始条件为0，则式（3.21）可在z域表示为
若取z＝exp（i2πfTs），则功率谱密度传递率矩阵
可表示为
同样，式（3.21）是在时域表示的，因此只要在时域估计出系数矩阵Ai、Bi，频域传递率矩阵即可通过式（3.23）求得。在信号处理领域，信号x（t）与y（t）之间的互相关函数定义为
式中，τ为时间延迟；E（·）为期望函数。
对于遍历随机过程，求期望函数可用时间平均代替。此外，工程应用中采集的信号为离散信号，且长度往往是有限的，因此式（3.24）可近似写成
式中，Nt为数据点个数；m为延迟数据点数。
