3.4.2　功率谱密度传递率及相关函数传递率的应用

3.4.2　功率谱密度传递率及相关函数传递率的应用

3.4.2.1　方法推导

回顾3.2.3节给出的传递率统一形式为

基于上述形式可给出统一形式的信号传递率为

当信号y表示相关函数或功率谱密度函数时，根据式（3.64）和式（3.65），有

式中，下标“K”表示输出参考点对应的向量；下标“U”表示非参考点对应的向量。

将式（3.66）移项，可写为

对于时域信号，变量p为时间变量，算子q为前移算子，当系统初始状态为0时，前移算子与Z变换变量z等价。现将式（3.67）在z域表示，当系统初始状态为0时， （z）、（z）分别为输出点集U、K与输出点Zi之间的互功率谱密度。在零初始条件下，可以写成

式中，上标“H”表示共轭转置，“*”表示复共轭；HZi（z）为频响函数矩阵的第Zi行。

联立式（3.68）与式（3.69），可得

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将式（3.67）在z域表示，并将式（3.70）代入，得

与式（3.47）的推导相同，当z-1→λm时，式（3.71）变为

式（3.72）为欠定方程，选取不同的转换通道Zi并联立该式，得

式中，Ak，0＝INU；NZ表示转换响应通道数。

后续推导过程与3.4.1节完全相同。

3.4.2.2　对载荷工况及转换通道的要求

相关函数与功率谱密度函数属于傅里叶变换对，因此相关函数传递率与功率谱密度传递率具有等价性，只是分析域不同。换言之，相关函数传递率可看作功率谱密度传递率在时域的拓展，根据式（3.73）可知，基于相关函数传递率的辨识方法与基于功率谱密度传递率的辨识方法均需联立不同转换通道下的传递率函数。根据3.3.2节中功率谱密度传递率影响因素的分析结果，只有在激励点个数Ni和激励源数目Nr均大于1时，功率谱密度传递率才与转换通道有关。因此，当采用相关函数传递率进行结构模态参数辨识时，结构至少在两个激励点上受到宽带激励作用，且必须存在两个以上具有不同谱形式的激励源。该条件在工程中较易满足，如受到多辆汽车及风载荷作用下的桥梁、飞行中同时受到发动机推力和气动力作用的飞机等［1，273］。

此外，基于相关函数传递率和功率谱密度传递率的结构模态参数辨识方法对转换通道的数目也有要求，为保证式（3.73）为超定（或适定）方程，转换通道数目需满足NZ≥No／（No-NK）＝No／NU。

由3.4.1节可知，系统的自由衰减响应为n个简谐振动信号的叠加，每个简谐信号的频率对应系统的一个有阻尼固有频率，其振幅之比与系统的模态振型向量成正比，故对互功率谱密度（z）、（z）依然有

因此，与响应传递率相同，相关函数传递率和功率谱密度传递率亦可考虑系统的非零初始条件，且模态参数辨识结果不受系统初始条件的影响［1，273］。