3.4.1　频域和时域响应传递率的应用

3.4.1.1　方法推导

回顾3.2.3节给出的传递率统一形式为

基于上述形式，可给出统一形式的信号传递率为

当信号y表示时域或频域的响应信号时，根据式（3.41）和式（3.42），有

式中，下标“K”表示输出参考点对应的向量；下标“U”表示非参考点对应的向量。

对式（3.43）移项整理，可得

对于时域信号，变量p为时间变量，算子q为前移算子，当系统初始状态为0时，前移算子与Z变换变量z等价。现将式（3.44）在z域表示，若系统的初始条件为零，则系统的响应可通过系统频响函数与激励谱表示，即

式中，HU（z）、HK（z）分别为非参考点集合U与参考点集合K对应传递函数矩阵的行。

将式（3.44）在z域表示，并将式（3.45）代入，得

若系统的初始条件为零，同时考虑关心频带内的所有模态均被充分激励这一前提条件，对于小阻尼系统而言，当变量z-1趋近于系统的第m阶极点λm时，时不变系统频响函数矩阵H（z）的列和行均与对应阶的模态振型向量ϕm成正比。因此，当z-1→λm时，式（3.46）可写为

模态振型向量ϕm为No×1的列向量，且NU＜No，因此式（3.47）为欠定方程。将多个工况下成立的式（3.47）联立，即可由该式解出系统的模态参数［148，149］：

式中，下标k表示第k个工况；Nc为不同工况个数；下标m为第m个系统极点；Ak，0＝INU，k＝1，2，…，Nc。

为了方便，可将式（3.48）简写为

式（3.49）所示的矩阵多项式特征值问题可转化为如下矩阵特征值问题：

式中，

式中，n＝max（na，nb）；Γ通常称为高维伴随矩阵，其子阵应为方阵；ϕm为特征向量。

式（3.49）中的Ci仅在工况数Nc满足Nc＝No／NU时为方阵。为满足该限制条件，记

通过求解矩阵特征值问题，则系统第m阶固有频率ωm与阻尼比ξm可写为

系统第m阶模态振型向量ϕm可通过特征向量φm的最后No个元素得到。由式（3.47）可知，特征向量φm乘以任一非零常数均满足该式。在实际计算时，需对特征向量φm进行约束，如‖φm‖＝1。造成该现象的原因是：仅基于响应的模态参数辨识方法仅利用系统的输出响应，既无法获得系统的模态参与因子信息，也无法估计模态振型向量的缩放因子。

3.4.1.2　对工况的要求(https://www.daowen.com)

由上述推导可知，从响应传递率中提取结构模态参数，需结合Nc个不同载荷工况。由3.3.1节的分析可知，在不同的参考点数目NK、激励点数目Ni、激励源数目Nr的关系下，影响响应传递率的因素有所不同，因此不同载荷工况的选取规则也会相应变化。若将宽带载荷作用的激励点视为有效激励点，则根据3.3.1节的分析结果，两种不同载荷工况满足以下条件之一［1，273］：

（1）若两种工况下激励点位置发生改变，则在任何情况下均可看作两种不同载荷工况。

（2）若NK≥Ni，则只能通过改变激励点的位置来实现两种不同载荷工况。

（3）若参考响应通道NK＜Ni且NK≥Nr，则改变激励空间分布矩阵也可实现两种不同载荷工况。

（4）若参考响应通道NK＜Ni且NK＜Nr，则改变激励点位置、激励源谱形式和空间分布矩阵三者中的任意一个均可实现两种不同载荷工况。

在实际中，一般难以获得Ni和Nr的准确值，且Nr比Ni更难确定。Ni取值直接与激励的作用形式有关，Nr取值与激励源有关。若结构所受激励可近似为点激励（如冲击），则可根据对结构的物理理解来估算Ni的值；若激励为分布激励（如地震载荷、气动载荷等），则Ni会很大，导致NK＜Ni，此时改变激励空间分布矩阵即可获得两种不同载荷工况。在无法进行上述判断时，可通过选择不同的NK来计算两种工况下的响应传递率，然后进行比较，根据比较结果调整NK的值，直至获得满意结果。