3.4.3 基于功率谱密度传递率与奇异值分解的辨识方法
基于3.2.3节给出的四种传递率统一表达形式，3.4.1节和3.4.2节分别介绍了基于四种传递率的结构模态参数辨识方法，从推导过程可以看出，所给的四种方法也具有统一的求解流程，结构模态参数辨识问题最终均转化成了矩阵特征值问题，3.4.1节所示方法对工况的要求与3.4.2节所示方法对转换通道的要求具有高度的相似性。基于功率谱密度传递率的辨识方法最早由颜王吉在2012年提出，后续颜王吉等［155］、Araújo等［156］对该方法进行了拓展，其中Araújo等［156］于2014年提出的结合功率谱密度传递率矩阵与奇异值分解的PSDTM-SVD方法具有物理意义明确、可构造清晰稳定图、可靠性高等优势，得到了较广泛的应用，本节对该方法进行介绍。
系统两个通道输出响应xu（t）、xk（t）的互功率谱密度可表示为
式中，Hur（p）、Hks（p）分别为输入点r到输出点u、输入点s到输出点k的传递函数；Sfr fs（p）为输入点r激励和输入点s激励之间的互功率谱密度。
在比例阻尼假设下，系统传递函数可写成关心频带内所有nm阶模态之和，即
式中，Rl是第l阶模态对应的常数；λl是系统第l阶极点；ϕlu是第l阶模态振型向量中输出点u对应的元素；
lr（p）是第l阶模态中与输出点u无关的值，可写为
将式（3.76）代入式（3.75），得
为书写简便，将式（3.79）简写为
式中，
由式（3.80）可知，当输出点u和输出点k改变时，Dl（λl）不发生改变。在式（3.8）所示的功率谱密度传递率矩阵定义中，令转换通道为单通道Zi，则
则根据式（3.80），存在以下极限［157］：
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矩阵
（p）存在极限：
基于功率谱密度传递率矩阵与奇异值分解的结构模态参数辨识方法（PSDTM-SVD方法）的流程总结如下：
步骤1：获取结构振动响应信号，计算响应信号的功率谱密度函数。
步骤2：定义转换通道集合Z、非参考点集合U和参考点集合K，根据式（3.84）构造矩阵
（Ω）。
步骤3：在每个频率点处对矩阵T＾（Ω）做奇异值分解。
步骤4：根据所有频率点奇异值的均值大小，选取截断阶数k。
步骤5：根据奇异值分解的结果及截断阶数k，构造矩阵
＋（Ω）。
步骤6：对矩阵
＋（Ω）采用矩阵分式模型进行建模，采用最小二乘估计、最大似然估计等方法估计矩阵分式模型的系数矩阵。
步骤7：根据矩阵分式模型的分母系数矩阵求解系统的极点，随后可求得模态频率与阻尼比。
步骤8：根据矩阵T＾（Ω）在模态频率点处的第一阶左奇异向量，求得归一化后的模态振型向量。
步骤9：选择不同阶数的矩阵分式模型，构造稳定图，求得最终的模态参数。
值得注意的是，PSDTM-SVD方法同样需要联立不同转换通道下的功率谱密度函数。因此，与3.4.2节中的方法相同，PSDTM-SVD方法也要求结构至少在两个激励点上受到宽带激励作用，且必须存在两个以上具有不同谱形式的激励源。然而，PSDTM-SVD方法对于转换通道的数目没有特殊要求，理论上只需两个转换通道，但为了获得可靠的辨识结果，一般选择两个以上转换通道。
