3.5.2 CFTOMA与PSDTM-SVD方法对比
本节采用文献［1，273］中的简支梁有限元模型对本章提出的CFTOMA方法进行验证，并与经典的PSDTM-SVD方法进行比较。
3.5.2.1 简支梁有限元模型
简支梁有限元模型示意如图3.12所示，其相关参数如表3.6所示。将简支梁平均划分成10个欧拉梁单元，节点编号为1～11，梁单元节点仅考虑沿y轴的平移和绕z轴的转动自由度，插值多项式选择三次Hermite多项式。为模拟材料、环境等因素导致的阻尼效应，在仿真中引入比例阻尼。
图3.12 简支梁有限元模型示意
表3.6 简支梁参数
简支梁在节点2、4、6同时受到互不相关非白噪声f1（t）、f2（t）、f3（t）的作用。三个非白噪声序列的主频分别为35 Hz、70 Hz与35 Hz，其平均功率谱密度如图3.13所示。简支梁各自由度的响应采用Newmark-β法的特例——平均加速度法计算，积分步长为1／5000 s，时间长度为128 s。在仿真辨识中只考虑各节点沿y轴的平移自由度，在获得位移响应后进行512 Hz重采样，获得用于辨识的位移响应信号，节点3沿y轴位移响应100次的平均功率谱密度如图3.14所示。由图中可以看出，响应信号中包含35 Hz与70 Hz的谱峰，若不特别考虑，这两个谱峰将会被识别为结构的模态。
图3.13 激励100次平均功率谱密度
（a）f1（t）；（b）f2（t）；（c）f3（t）
图3.14 节点3沿y轴位移响应100次的平均功率谱密度（书后附彩插）
采用经典SSI-COV方法对简支梁位移响应数据进行处理。该简支梁含9个响应自由度，协方差矩阵维度为9×9，SSI-COV方法中Toeplitz矩阵块数从5取到30，对简支梁模态参数进行辨识，得到的稳定图如图3.15所示。可以看出，在非白激励主频35 Hz和70 Hz处，SSI-COV方法均获得了稳定极点，辨识出了两阶虚假模态。
图3.15 SSI-COV方法辨识简支梁模态得到的稳定图（书后附彩插）
3.5.2.2 模态参数辨识结果
本小节分别采用CFTOMA方法与PSDTM-SVD方法对简支梁的前四阶横向弯曲模态进行辨识。在PSDTM-SVD方法中，功率谱密度函数采用Welch法计算，窗函数长度为2048，相邻窗50%重叠，傅里叶变换点数为2048。为评估窗函数对频域方法的影响，分别采用矩形窗和汉宁窗进行功率谱密度函数的计算。在构建PSDT矩阵时，将节点2、4、6、8、10的位移响应作为转换通道，将节点4的位移响应作为参考通道。
在本算例中，简支梁受到三个互不相关的载荷作用，因此只保留PSDT矩阵的第二阶和第三阶奇异值。按照奇异值平均值5%的准则进行筛选，结果仍然保留第二阶和第三阶奇异值。根据3.4.3节的方法流程，对简支梁前四阶横向振动模态进行辨识。采用矩形窗和汉宁窗时，PSDTM-SVD方法得到的奇异值和稳定图分别如图3.16、图3.17所示。
对比图3.16和图3.17可知，PSDTM-SVD方法能有效辨识简支梁的前四阶模态，在非白激励主频35 Hz和70 Hz处并未出现虚假模态，但汉宁窗下得到的第二阶、第三阶奇异值更光滑，且能获得更清晰的稳定图。
图3.16 矩形窗下PSDTM-SVD方法得到的奇异值和稳定图（书后附彩插）
（a）前五阶奇异值；（b）稳定图
图3.17 汉宁窗下PSDTM-SVD方法得到的奇异值和稳定图（书后附彩插）
（a）前五阶奇异值
图3.17 汉宁窗下PSDTM-SVD方法得到的奇异值和稳定图（续）（书后附彩插）
（b）稳定图
图3.18 节点3位移响应相关函数
在CFTOMA方法中，相关函数计算的最大延时为数据长度的50%，得到的结果如图3.18所示。由图中可以看出，相关函数存在“拍频”现象（beating phenomenon），该现象是由随机激励引起的，通过计算相关函数的相关函数可在一定程度上解决该问题。在本算例中，为避免“拍频”现象对辨识结果造成不利影响，仅取相关函数的前1024个数据点进行辨识。转换通道仍为节点2、4、6、8、10，将节点7～10的位移响应作为参考通道，将节点2～6的位移响应作为非参考通道。CFTOMA方法得到的稳定图如图3.19所示。由图中可以看出，本章提出的CFTOMA方法可有效辨识简支梁的前四阶横向弯曲模态。(https://www.daowen.com)
为更加直观地比较两种方法的影响，采用100次蒙特卡罗仿真的辨识，对其结果进行误差对比分析。不同方法的100次蒙特卡罗仿真辨识结果如图3.20所示（图中的红色实线表示理论值，黑色、蓝色、绿色和黄色数据点分别表示第一、二、三、四阶模态结果），误差对比如图3.21所示（图中红色、蓝色和黑色箱线图分别表示矩形窗PSDTM-SVD方法、汉宁窗PSDTM-SVD方法和CFTOMA方法的结果）。
图3.19 CFTOMA方法得到的稳定图
图3.20 不同方法100次蒙特卡罗仿真辨识得到的结果（书后附彩插）
（a）矩形窗PSDTM-SVD方法的频率；（b）矩形窗PSDTM-SVD方法的阻尼比；（c）汉宁窗PSDTM-SVD方法的频率；（d）汉宁窗PSDTM-SVD方法的阻尼比
图3.20 不同方法100次蒙特卡罗仿真辨识得到的结果（续）（书后附彩插）
（e）CFTOMA方法的频率；（f）CFTOMA方法的阻尼比
图3.21 不同方法的辨识误差（书后附彩插）
（a）频率误差；（b）阻尼比误差
由图3.20可看出，采用矩形窗PSDTM-SVD方法、汉宁窗PSDTM-SVD方法、CFTOMA方法辨识的模态频率结果精度均很高，平均误差均小于1%，其中CFTOMA方法略差；在阻尼比方面，CFTOMA方法能很好地辨识四阶模态对应的阻尼比，四阶模态阻尼比的平均误差均小于25%，明显优于PSDTMSVD方法；汉宁窗提升了第三、四阶模态阻尼比的辨识精度，但第一、二阶模态阻尼比的辨识精度并未提升。
接下来，对比分析CFTOMA方法与经典SSI-COV方法的辨识精度。由图3.15可知，除简支梁的四阶真实模态外，SSI-COV方法还将在非白激励主频35 Hz和70 Hz处辨识出虚假模态。SSI-COV方法取Toeplitz矩阵维度为108×108，辨识简支梁模态参数。将SSI-COV方法辨识出的真实模态与CFTOMA方法的辨识结果进行比较，误差对比如图3.22所示（图中的红色和蓝色箱线图分别表示CFTOMA方法和SSI-COV方法的误差结果）。从图中可以看出，对于该算例而言，在数据长度为128 s的情况下，CFTOMA方法的辨识精度低于SSI-COV方法。
图3.22 SSI-COV真实模态辨识误差与CFTOMA误差对比（书后附彩插）
（a）频率误差；（b）阻尼比误差
3.5.2.3 数据长度影响分析
本小节讨论响应数据长度对辨识结果的影响。取128 s、64 s、16 s的响应数据进行辨识，分别比较各数据长度下不同方法的辨识精度，并比较各方法对数据长度的敏感度。
数据长度为64 s和16 s时，矩形窗PSDTM-SVD方法、汉宁窗PSDTMSVD方法和CFTOMA方法的辨识精度对比分别如图3.23和图3.24所示（两幅图中的红色、蓝色和黑色箱线图分别表示矩形窗PSDTM-SVD方法、汉宁窗PSDTM-SVD方法和CFTOMA方法的误差结果）。可以看出，在考虑的两种响应数据长度下，三种方法的模态频率辨识精度一直较高，64 s时平均百分比误差均小于1%，16 s时均小于3%。值得注意的是，CFTOMA方法对模态频率的辨识精度在64 s数据长度下与PSDTM-SVD方法相当，但在16 s数据长度下超过了PSDTM-SVD方法。在模态阻尼比方面，PSDTM-SVD方法的辨识精度误差很大，而CFTOMA在不同数据长度下均能获得较高的辨识精度，64 s时的平均百分比误差小于30%，16 s时小于60%，明显优于PSDTMSVD方法。对于PSDTM-SVD方法，汉宁窗对模态频率的辨识精度影响不大，提升了第三、四阶阻尼比的辨识精度，但降低了第一、二阶阻尼比的辨识精度。
图3.23 64 s不同方法辨识误差（书后附彩插）
（a）频率误差；（b）阻尼比误差
图3.24 16 s不同方法辨识误差（书后附彩插）
（a）频率误差；（b）阻尼比误差
为更直观地比较各方法对数据长度的敏感度，将同一方法在不同数据长度下的辨识精度进行比较，如图3.25所示（图中的红色、蓝色和黑色箱线图分别表示16 s、64 s和128 s的误差结果）。响应数据长度变长时，PSDTM-SVD方法的辨识精度明显提升，而CFTOMA方法的辨识精度提升幅度很小，CFTOMA方法在所有数据长度下均保持较高的辨识精度。
图3.25 三种方法在不同数据长度下的辨识误差（书后附彩插）
（a）矩形窗PSDTM-SVD方法的频率误差；（b）矩形窗PSDTM-SVD方法的阻尼比误差；（c）汉宁窗PSDTM-SVD方法的频率误差；（d）汉宁窗PSDTM-SVD方法的阻尼比误差；（e）CFTOMA方法的频率误差；（f）CFTOMA方法的阻尼比误差
此外，通过对比不同数据长度下SSI-COV方法辨识出的真实模态误差与CFTOMA方法辨识误差可以发现，在数据长度为16 s、64 s和128 s时，CFTOMA方法的辨识精度均低于SSI-COV方法。因此，与SSI-COV方法相比，CFTOMA方法的优势在于不受激励频谱形式的影响，不含有非白激励主频导致的虚假模态，其在辨识精度上并无优势。
