3.5.1 TTOMA与FTOMA方法对比
本节通过四自由度系统来比较分析时域与频域响应传递率方法的辨识精度和对数据长度的鲁棒性。
3.5.1.1 四自由度系统
四自由度弹簧-阻尼-质量块系统如图3.3所示，系统参数如表3.3所示，系统的四阶有阻尼固有频率、阻尼比如表3.4所示。
图3.3 四自由度弹簧-阻尼-质量块系统示意图
表3.3 四自由度弹簧-阻尼-质量块系统参数
表3.4 四自由度系统有阻尼固有频率、阻尼比
系统的载荷向量为f（t）＝μ1 f1（t）＋μ2 f2（t）。其中，f1（t）和f2（t）为两种形式不同且互不相关的载荷，f1（t）为高斯白噪声，f2（t）为高斯白噪声经单自由度系统滤波后的信号，因此f2（t）为有色噪声。TTOMA方法需不同的载荷工况，在该算例中，工况数Nk＝2，通过改变载荷分布向量μ1和μ2来实现，如表3.5所示。系统加速度响应通过Newmark-β数值积分方法的特例——平均加速度法计算，时间步长为Δt＝1／1024 s，总时长为128 s，响应计算完成后进行32 Hz重采样。两种工况下加速度响应x¨1（t）自功率谱密度如图3.4所示。由图可知，用于获得有色噪声f2（t）的单自由度系统在两个工况中是不同的。其中，工况1的主频为2 Hz，阻尼比为1%；况2的主频为3 Hz，与系统第二阶模态频率很接近，阻尼比为1%。
表3.5 两种不同工况的载荷分布向量
图3.4 两种工况下100次平均x¨1（t）自功率谱密度曲线（书后附彩插）
采用基于白噪声输入假设的SSI-COV（协方差驱动的SSI）方法对系统加速度响应数据进行处理。该方法通过信号协方差矩阵构建Toeplitz矩阵，该系统含4个响应自由度，协方差矩阵维度为4×4，Toeplitz矩阵块数从5取到30，对系统模态参数进行辨识，两个工况下得到的稳定图如图3.5所示（图中的红色“s”表示稳定极点，黑色点表示不稳定极点）。可以看出，工况1中的SSI-COV方法在非白激励主频3 Hz处获得了稳定极点，辨识出了虚假模态；工况2中的SSI-COV方法在非白激励主频2 Hz处辨识出了虚假模态。
图3.5 两种工况下SSI-COV方法获得的稳定图（书后附彩插）
（a）工况1；（b）工况2
采用本章提出的基于响应传递率的方法辨识四自由度系统的模态参数，在该算例中，响应x¨1（t）与x¨2（t）作为参考响应，满足Nk＝No／（No-Nr）的约束条件，且本例中式（3.48）中的模型阶数取为na＝nb＝4。
3.5.1.2 模态参数辨识结果
在传统频域方法中，可通过在右矩阵分式模型中加入附加项来有效抑制数据非零初始值与末端值对傅里叶变换的影响。采用TTOMA方法与带附加项FTOMA方法进行100次蒙特卡罗仿真辨识的结果对比如图3.6所示（图中的红色实线表示理论值，黑色、蓝色、绿色和黄色数据点分别表示第一、二、三、四阶模态结果）。可以看出，TTOMA方法辨识的阻尼比精度更高、方差更小。
图3.6 TTOMA方法与带附加项FTOMA方法的辨识结果对比（书后附彩插）
（a）TTOMA方法辨识的频率；（b）TTOMA方法辨识的阻尼比
图3.6 TTOMA方法与带附加项FTOMA方法的辨识结果对比（续）（书后附彩插）(https://www.daowen.com)
（c）带附加项FTOMA方法辨识的频率；（d）带附加项FTOMA方法辨识的阻尼比
为量化辨识结果的误差，定义平均百分比误差（mean percentage error，MPE）及其标准差（standard deviation of percentage error，SDPE）如下：
式中，
为第r阶模态的理论值；
表示第i次蒙特卡罗仿真的第r阶模态估计值；NMC为蒙特卡罗仿真总次数。
两种方法辨识结果误差对比如图3.7所示（图中的箱线图表示MPE±SDPE，红色为TTOMA方法，黑色为带附加项FTOMA方法）。由图可知，两种方法对模态频率的辨识精度均较高，在阻尼比方面，TTOMA方法百分比误差的均值和标准差均小于带附加项FTOMA方法，尤其对低阶模态阻尼比的辨识具有显著优势。
图3.7 两种方法辨识结果误差对比（书后附彩插）
（a）频率误差；（b）阻尼比误差
由图3.5可知，除四阶真实模态外，SSI-COV方法还将辨识出两阶虚假模态。SSI-COV方法取Toeplitz矩阵维度为100×100，辨识系统模态参数。将SSI-COV方法辨识出的真实模态与TTOMA方法辨识结果比较，其误差对比如图3.8所示（图中的红色箱线图表示TTOMA方法的误差分析结果，蓝色和黑色箱线图分别表示SSI-COV方法在工况1、工况2的误差分析结果）。可以看出，对于该算例，TTOMA方法的辨识精度显著高于SSI-COV方法。此外，对比两个工况下SSI-COV方法第二阶模态的辨识误差可以发现，工况1的模态频率和阻尼比辨识误差均大于工况2，特别是阻尼比精度下降幅度较大，其原因是工况1中非白环境激励主频与第二阶模态频率相隔很近，影响了第二阶模态的辨识精度。
图3.8 SSI-COV真实模态辨识误差与TTOMA误差对比（书后附彩插）
（a）频率误差；（b）阻尼比误差
3.5.1.3 窗函数影响分析
为进一步分析傅里叶变换过程中的能量泄漏对FTOMA方法的影响，本小节分别采用不同的窗函数对响应数据进行加窗处理，但在建模过程中不考虑附加项。加矩形窗和汉宁窗时，FTOMA方法辨识出的模态频率和阻尼比如图3.9所示（图中的红色实线表示理论值，黑色、蓝色、绿色和黄色数据点分别表示第一、二、三、四阶模态结果）。矩形窗即不对数据进行加窗处理，此时能量泄漏的影响最大，辨识结果精度急剧降低，方差增大，特别是第一阶模态的辨识结果受到极大影响，进行100次蒙特卡罗仿真辨识仅有13次能获得可靠结果。汉宁窗能有效抑制能量泄漏；与矩形窗相比，加汉宁窗后的辨识结果大幅改善，对第一阶模态的辨识性能大幅提升。
两种能量泄漏抑制方法的误差对比如图3.10所示（图中的红色和黑色箱线图分别为带附加项FTOMA方法和加汉宁窗FTOMA方法的结果），与上一小节中带附加项的FTOMA方法进行对比，加汉宁窗的FTOMA方法辨识效果较差。综上，傅里叶变换中的能量泄漏会对传统基于频域传递率的FTOMA方法造成较大影响，可通过对时域数据进行加窗处理或增加附加项改善辨识结果，而基于时域传递率的TTOMA方法直接在时域进行辨识，消除了能量泄漏，辨识精度更高。
图3.9 不同窗函数下FTOMA方法的辨识结果（书后附彩插）
（a）加矩形窗辨识的频率；（b）加矩形窗辨识的阻尼比；（c）加汉宁窗辨识的频率；（d）加汉宁窗辨识的阻尼比
图3.10 不同能量泄漏抑制方法的误差对比（书后附彩插）
（a）频率误差；（b）阻尼比误差
3.5.1.4 数据长度影响分析
本节探讨不同数据长度对辨识结果的影响。分别取时长128 s、64 s、32 s的数据进行模态参数辨识，除数据长度不同外，其余参数与3.5.1.2节保持一致。3种数据长度下百分比误差对比如图3.11所示（图中的红色、蓝色和黑色箱线图分别表示32 s、64 s和128 s的结果）。可以看出，数据长度越长，两种方法辨识结果的平均百分比误差与其标准差均会减小，但TTOMA方法对数据长度的敏感度更低，且在三种数据长度下的辨识精度均高于FTOMA方法。
图3.11 两种方法在3种数据长度下的辨识误差对比（书后附彩插）
（a）FTOMA辨识频率的误差；（b）FTOMA辨识阻尼比的误差；（c）TTOMA辨识频率的误差；（d）TTOMA辨识阻尼比的误差
