4.5.2 模态参数辨识结果
4.5.2.1 非平稳信号分解
首先采用参数化FS-TARMA模型和WFT对响应信号进行时频分析。由于该四自由度系统的刚度是时间的三角函数，因此在FS-TARMA模型中采用三角基函数对其系数矩阵进行展开，第i阶三角基函数表达式如下：
基于2.3.3.2节中的2SLS方法，对FS-TARMA模型中的系数矩阵进行估计。2SLS方法的步骤1是逆函数估计，以获得新息序列的估计值。根据AIC准则对该步骤中逆函数的结构参数进行选取，如图4.8所示。由图中可以看出，当ng＝5，pg＝16时，AIC的值趋于平缓。为保证截断的高阶TAR模型与原FS-TARMA模型的近似等价，一般取截断AR阶数为原FS-TARMA模型阶数的2～5倍［107］，因此本算例中逆函数模型结构参数选为ng＝10，pg＝16。
获得新息序列估计值后，选择FS-TARMA模型的结构参数，如图4.9所示。选择AR阶数na与AR基函数阶数pa时，取nb＝na，pb＝10。根据图4.9的结果，最终FS-TARMA模型的结构参数确定为na＝4，nb＝3，pa＝16，pb＝5，而WFT中高斯函数的形状参数取为σ＝3。
将获得的时频功率谱和时频谱最大值归一化后求平均值，两种时频分析方法获得的最终结果如图4.10所示。由图中可以看出，FS-TARMA模型和WFT获得的信号时频表征均明显显示四个峰值，其中3.7 Hz左右的峰值属于谐波响应，其余三个峰值属于系统的真实模态。此外，由于FS-TARMA模型对响应信号进行参数化建模，因此获得的时频功率谱很光滑，而非参数化WFT获得的时频谱较粗糙。
图4.8 2SLS方法步骤1中逆函数模型结构参数选择（书后附彩插）
图4.9 FS-TARMA模型结构参数选择（书后附彩插）
（a）AR阶数与基函数阶数选择；（b）MA阶数与基函数阶数选择
图4.10 FS-TARMA模型时频功率谱与WFT时频谱（书后附彩插）
上述两种时频表征的峰值点如图4.11所示，FS-TARMA-PSD的峰值点很集中，基本上位于四条脊线附近，而通过WFT时频谱提取的峰值点很杂乱。文献［280］表明，基于非参数化WFT时频谱的脊线提取方法需要求解复杂的优化问题，计算量大，鲁棒性低。而采用参数化FS-TARMA-PSD的方法可避免复杂的优化过程，具有实施简单、计算量小的优势，本章提出的非平稳信号分解方法充分利用了这种优势。
由4.2.2节介绍的步骤2，将获得的峰值点连接成脊线，结果如图4.12（a）所示。由图中可知，连接后的脊线不存在间断点，但频率最高的一条脊线存在局部重叠分叉的现象，分成了三小段，因此步骤3对其进行合并。同时注意到，图4.12（a）中的点［80 s，7.8 Hz］附近存在少量峰值点，步骤3合并脊线后也会产生很短的局部脊线，经过步骤4对其进行删除，获得的完整脊线如图4.12（b）所示。最终获得的四条脊线对应四阶真实模态和一阶谐波响应，其中第三阶和第四阶真实模态的脊线重合成一条脊线。
图4.11 FS-TARMA-PSD和WFT时频谱的峰值点（书后附彩插）
（a）FS-TARMA-PSD；（b）WFT时频谱
图4.12 由FS-TARMA-PSD提取的脊线（书后附彩插）
（a）步骤2的结果；（b）步骤4的结果
通过FS-TARMA-PSD提取出四条脊线，这意味着每个自由度的响应均应分解为四个分量。根据四条脊线的位置确定对应分量的时频支撑域，本算例中四个分量的时频支撑域宽度均取为0.3 Hz，即4.2.2节的步骤5中Δωp＝0.3 Hz。针对每个自由度的位移响应，根据式（4.3）计算其WFT系数，随后依次将各分量时频支撑域外的WFT系数置0，并根据式（4.5）进行时域重构。重复上述步骤，直至所有自由度的响应均被分解为四个分量。图4.13给出了响应x3（t）的四个分量，从上到下峰值频率逐渐增大。
4.5.2.2 谐波响应的剔除(https://www.daowen.com)
为便于叙述，按响应分量频率从低到高的顺序，对响应分量依次编号（1～4），分量1的频率最低。分析四个信号分量的统计特性，所有自由度四个分量的直方图如图4.14所示。可以看出，对于所有自由度，分量1、2和4的直方图均呈“钟形”，表现出高斯特性，而所有自由度的分量3均呈现双峰特性，与谐波响应的分布特性吻合。
图4.13 x3（t）分解后的四个响应分量信号
图4.14 所有信号分量的直方图（书后附彩插）
（a）分量1；（b）分量2；（c）分量3；（d）分量4
计算所有自由度各分量的超值峰度系数，结果如图4.15所示，所有自由度分量3的超值峰度系数均接近于纯谐波信号的-1.5。因此，从上述统计特性分析可以得出结论：分量1、2、4均属于真实模态响应，分量3属于谐波响应。
图4.15 所有响应分量的超值峰度系数（书后附彩插）
4.5.2.3 辨识结果分析
由“时间冻结”分析结果可知，该四自由度系统的第三阶和第四阶模态属于密频模态，接下来采用4.4节提出的TFDD方法辨识这两阶密频模态。FS-TARMA-PSD矩阵的前三阶奇异值曲面如图4.16所示。第一阶奇异值曲面清晰地呈现四条脊线；第二阶奇异值存在一条脊线且与第一阶奇异值的第四条脊线几乎重合；第三阶奇异值与前两阶相比很小，可以忽略。由此可以看出，非平稳信号分解获得的第四个响应分量含两阶密频模态，这恰好与四自由度系统的第三阶和第四阶模态对应。
图4.16 FS-TARMA-PSD矩阵的前三阶奇异值曲面（书后附彩插）
（a）前三阶；（b）第一阶；（c）第二阶；（d）第三阶
根据响应分量统计特性的分析结果，可剔除3.7 Hz对应的谐波响应，系统第一阶和第二阶非密频模态可直接由FS-TARMA模型的模态参数辨识结果中获得，而系统第三阶和第四阶密频模态可由TFDD方法辨识得到，最终完整的模态参数辨识结果如图4.17所示，从上到下依次为第一阶至第四阶模态辨识结果；所有时刻点平均百分比误差（MPE）如表4.2所示。模态频率辨识结果精度很高，最大平均百分比误差为第一阶的1.94%；模态阻尼比辨识精度较低，其中第一阶平均百分比误差达到了98.72%。阻尼比辨识精度低是时变结构模态参数辨识的共性问题，其主要原因之一是离散系统向连续系统的转换过程会对误差进行放大。文献［281］指出，离散系统极点存在的极小误差将导致连续系统极点具有很大的误差，从而严重影响模态参数（特别是模态阻尼比）的辨识精度。同时，响应信号的随机性和测量噪声均会为离散系统的极点估计引入较大的不确定性，进一步影响连续系统极点和模态参数的估计精度［282］。因此，目前针对时变结构的模态参数辨识方法一般只能给出模态阻尼比的大致范围。
图4.17 四自由度系统模态频率与阻尼比辨识结果（书后附彩插）
（a）模态频率；（b）阻尼比
表4.2 四自由度系统辨识模态频率与阻尼比的平均百分比误差
辨识出的模态振型与“时间冻结”分析获得的基准模态振型之间的平均MAC矩阵如图4.18所示。整体而言，辨识出的模态振型与基准模态振型吻合得较好，其中第四阶模态振型辨识精度最差，平均MAC值为0.8789，原因是第三阶和第四阶模态频率几乎重合，二者之间存在一定的耦合。结合所有辨识结果可以得出结论：本章提出的基于FS-TARMA-PSD与SVD的TFDD方法可较好地分离响应中的密频模态。
图4.18 四自由度系统辨识模态振型与基准模态振型之间的平均MAC矩阵
