5.4.1 权重函数选取准则
结构在复杂振动环境下经受各种噪声的干扰，包括振动响应数据被非高斯脉冲噪声污染，反映在TARMA模型中即残差e［t］不再满足高斯条件假设，这也使得传统最小二乘估计子的估计性能产生严重退化。广义最大互相关熵估计子可以通过调整核函数的形式，根据残差e［t］来动态调整参与估计的数据的权重，进而减少非高斯脉冲噪声对估计过程造成的影响。从参数估计角度上来看，广义最大互相关熵估计子牺牲了其在高斯意义下的最优性，从而换来了在非高斯条件下的鲁棒性。此外，不难发现，核函数与权重函数通过式（5.23）紧密联系，因此权重函数的选取直接决定了广义最大互相关熵估计子的估计性能。本节将对设计权重函数的基本准则进行一些探索。
设计权重函数的基本思想是“权重缩减”，即降低非高斯脉冲噪声对估计过程的影响。非高斯脉冲噪声在时域上体现为符合特定Alpha稳态分布的一系列较大的“野点”（或“离群点”），在估计过程中对TARMA模型的直接影响是会产生较大的残差e［t］。为了特化广义最大互相关熵估计子对非高斯脉冲噪声的估计性能，即要求权重函数对残差较大的数据给予较小的权重，对残差较小的数据给予较大的权重，从数学的角度提出以下三条基本权重函数设计准则：
准则一：ρ（·）为偶函数，即对于任意r∈ℝ，ρ（-r）＝ρ（r）。
准则二：ρ（·）为连续函数，且对于任意r∈ℝ，r≥0时ρ（r）单调递减，r＜0时ρ（r）单调递增。
准则三：对于任意r∈ℝ，ρ（r）∈［0，1］，且ρ（0）＝1。
这三条准则可称为权重函数设计的基本三准则。其中，准则一是为了体现残差绝对值相同的数据点具有相同的权重；准则二是为了体现残差大于零时，该数据的估计权重将被降低，函数在0处具有唯一的极大值点；准则三是为了设定权重的取值范围，即数据参与估计的权重在0与1之间，0代表该数据被剔除，1代表该数据完全参与到估计过程，它是衡量数据质量的一种标志。
满足这三条基本设计准则的函数种类非常丰富，常用的有高斯类权函数、双指数类权函数和柯西类权函数等，本章采取柯西类权函数。(https://www.daowen.com)
柯西分布在统计学领域经常被作为一个典型的分布用于描述“病态”数据，其概率分布函数不仅满足前文所述的三条基本权重函数设计准则，其简洁、解析的数学形式使其在估计子的设计中也具有良好的性质。权重函数的数学形式可基于柯西函数描述如下：
式中，g为形状参数。
图5.4展示了在不同形状参数g下的柯西类权函数图像。与高斯类权函数类似，形状参数g体现了对应核函数在再生核希尔伯特空间上的非线性映射能力，并且当g→
，ρ（r）≅1时，广义最大互相关熵估计子将失去非线性能力，并退化为传统意义上的最小二乘估计子。
图5.4 柯西类权重函数（书后附彩插）
