2.4.1 线性规划的对偶问题
对偶是线性规划问题的一个特性。对于任何求极大值的线性规划问题，都有一个与之对应的求极小值问题（或相反），其有关约束条件的系数矩阵具有相同的数据，但形式上互为转置。且目标函数与约束方程右端常数项互换，目标函数值相等。这就是线性规划的对偶问题。
可用一个简单例子来说明。例如，四边形的周长L 一定，什么样形状的四边形面积最大？ 答案是正方形面积最大。其对偶问题为，四边形面积一定，什么样的四边形周长最短？答案仍然是正方形。可见前一问题的约束条件，即为后一问题的目标函数，反之亦然。
【例2.12】某水源地有Ⅰ号、Ⅱ号两个供水井，分别开采不同层位水质的承压含水层地下水，供A、B两用户之用，两用户对混合水质有一定要求。经抽水试验查明，两承压含水层单位降深下涌水量为一定值。向A、B用户供给一个单位水量需要Ⅰ号井和Ⅱ号井的水位降深值以及所获得的收益和两井各自的允许水位降深值见表2.4。问两个供水井如何向用户供水，才能使收益最大？
表2.4 线性规划对偶问题表
解：设x1、x2分别是供给A、B用户的水量，依照题意可建立此问题的LP模型：
最优解为：x1=8/5，x2=11/5，max Z=212（元）。
现在考虑此例的对偶问题。某水厂拟将Ⅰ号、Ⅱ号两个供水井出租转让，在考虑其定价时，水厂要衡量出租后，给A、B 两用户供水所得的收益，分别不能低于原先的50元和60元。否则宁可自己生产。但受市场调节作用，其定价要定得最低，才有竞争力。试问如何规划，才能既满足经济收益要求而又定价最低？
设y1、y2分别为Ⅰ、Ⅱ井单位降深抽水量的定价。依题意有(https://www.daowen.com)
解为：y1=8，y2=13，min W=212（元）。
对偶性比较：
目标函数极大 目标函数极小
变量n 个，约束m 个 变量m 个，约束n 个
系数矩阵 转置（行、列对偶）
价值系数 约束常数项
变量非负性 相同
如果原问题为资源的最优使用，求目标函数的极大值，那么其对偶问题就是资源的恰当估价，求目标函数的极小值。这说明对偶问题的决策变量y 代表企业内部对资源的一种估算价格，它不同于市场价格，故又称为影子价格。具体说，yi代表第i种资源在实现其最大经济效益的一种价格估计。它在经济管理中有重要的作用，决策者可用以作为了解资源的稀缺情况或供需矛盾，判断资源是否充分发挥经济效益的一种尺度。如果某资源的影子价格很高，表示该资源在生产中发挥作用很大，或表现为稀缺资源，反之亦然。
利用单纯形法求对偶问题可以有两种方达：一种是求解原问题，根据原问题的检验数而得到相应的对偶问题的解；另一种是用单纯形法直接对对偶问题求解。究竟采用哪种方法，要视约束方程多少而定。一般来说，单纯形算法迭代次数大约为约束方程数的1～1.5倍。故可利用线性规划问题对偶的特性，选择约束方程数少的来求解，以减少计算工作量。
