2.4.2.1 价值系数cj灵敏度分析
1.非基变量中价值系数cr的变化
若cr改变Δcr（可正可负），要使最优解不变（基变量和非基变量结构不变，但具体值一般会相应变化），必须保持cr改变后，问题仍然保持最优解。如求极大问题，检验数δr=zr-cr改变前后均不小于0，即
本例题中（表2.1），c3为非基变量x3的系数，其所在列的检验数δ3=5≥0，故Δc3≤5，或者c3≤6+Δc3=11。也就是说，x3饮料的单位利润只要低于11元，原最优解不变，公司仍然不会安排x3饮料生产。反之，若x3单位利润超过11元，则最优解发生改变，要重新求解。
可以求解检验如下：将c3系数改为11，结果不变；将c3改为12，结果为x1=8、x2=0、x3=4，max Z=88。实际上，c3=11.2 时，结果为x1=8、x2=0、x3=4，max Z=84.8，已经发生了改变。
注：本例中，c3取值11时，个别人可能得出解结构已经发生变化的结果。这时可取值稍微小点，比如10.99就可以了。大家可以讨论是什么原因？
2.基变量中价值系数cr的变化
设cr为基变量xr的价值系数，cr变化仍然需满足
，故：
当cr变化Δcr时，检验数为
若使δ＇j≥0，需要δj+Δcrar，j≥0，即
即Δcr变化范围是
本例题中，表2.1的Ⅲ中，对x1价值系数，有
a1,3=-1,a1,4=2,a1,5=-1δ3=5,δ4=2,δ5=3
(https://www.daowen.com)
即-1≤Δc1≤3，或者4≤c1≤8
可以求解验证，如：
c1=8.1时（其余不变），结果为x1=12、x2=0、x3=0，最优解为Z=97.2。
c1=3.9时（其余不变），结果为x1=0、x2=10、x3=0，最优解为Z=80。
c1=6时（其余不变），结果为x1=4、x2=8、x3=0，最优解为Z=88。
从验证可以看到，由于价值系数的改变，最优值将发生相应的变化，但解的结构一般不变（基变量、非基变量不变）。
对x2价值系数c2分析：
即-2.5≤Δc2≤2
或者5.5≤c2≤10
同样可以验证如下：
c2=6时（其余不变），结果为x1=4、x2=8、x3=0，最优解为Z=68。
c2=5.4时（其余不变），结果为x1=8、x2=0、x3=4，最优解为Z=64。
c2=11时（其余不变），结果为x1=0、x2=10、x3=0，最优解为Z=110。
对多个价值系数灵敏度分析结果，可以通过图的方式表示出来更直观（图2.5）。
由图2.5 可见，敏感分析中，价值系数c3、c5、c8比较敏感，特别是c5。这样要求在数据获取时，对这几个数的来源特别关注，以免建立的模型过于敏感，稳定性差。
约束条件常数项bi灵敏度分析与上类似，可参考陈爱光等，这里不多介绍。
图2.5 灵敏度分析中价值系数cj变化范围示意图
