2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）函数
的可去间断点的个数为
（A）1．（B）2．（C）3．（D）无穷多个．
（2）当x→0时，f（x）＝x－sinax与g（x）＝x2ln（1－bx）是等价无穷小，则
（3）使不等式
成立的x的范围是
（4）设函数y＝f（x）在区间[－1，3]上的图形如图所示，则函数
的图形为
（5）设A，B均为2阶方阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵.若|A|＝2，|B|＝3，则分块矩阵
的伴随矩阵为
（6）设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且
若P＝（α1，α2，α3），Q＝（α1＋α2，α2，α3），则QTAQ为
（7）设事件A与事件B互不相容，则
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为
，记FZ（z）为随机变量Z＝XY的分布函数，则函数FZ（z）的间断点个数为
(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（12）设某产品的需求函数为Q＝Q（p），其对价格p的弹性εp＝0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_______元．
（13）设α＝（1，1，1）T，β＝（1，0，k）T，若矩阵αβT相似于
，则k＝_________.
（14）设X1，X2，…，Xm为来自二项分布总体B（n，p）的简单随机样本，X和S2分别为样本均值和样本方差．记统计量
，则ET＝_________.
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分9分）
求二元函数f（x，y）＝x2（2＋y2）＋ylny的极值．
（16）（本题满分10分）
计算不定积分
.
（17）（本题满分10分）
计算二重积分
，其中
.
（18）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）.
（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x＝0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且
，则f′＋（0）存在，且f′＋（0）＝A.
（19）（本题满分10分）
设曲线y＝f（x），其中f（x）是可导函数，且f（x）＞0.已知曲线y＝f（x）与直线y＝0，x＝1及x＝t（t＞1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．
（20）（本题满分11分）
设
（Ⅰ）求满足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关.
（21）（本题满分11分）
设二次型
.
（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型f的规范形为y21＋y22，求a的值．
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（Ⅰ）求条件概率密度fY|X（y|x）；
（Ⅱ）求条件概率P{X≤1|Y≤1}．
（23）（本题满分11分）
袋中有1个红球、2个黑球与3个白球．现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．
（Ⅰ）求P{X＝1|Z＝0}；
（Ⅱ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布．