2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
姓名_______分数_______
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）若
，则a等于
(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．
（2）设y1，y2是一阶非齐次线性微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则
（3）设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g″（x）＜0．若g（x0）＝a是g（x）的极值，则f[g（x）]在x0取极大值的一个充分条件是
(A)f′(a)＜0．(B)f′(a)＞0．
(C)f″(a)＜0．(D)f″(a)＞0．
（4）设
，则当x充分大时有
(A)g(x)＜h(x)＜f(x)．(B)h(x)＜g(x)＜f(x)．
(C)f(x)＜g(x)＜h(x)．(D)g(x)＜f(x)＜h(x)．
（5）设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是
（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．
（B）若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．
（C）若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．
（D）若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s．
（6）设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝O.若A的秩为3，则A相似于
为概率密度，则a，b应满足
(A)2a＋3b＝4．(B)3a＋2b＝4．
(C)a＋b＝1．(D)a＋b＝2．
二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．
（11）设某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1＋p3，其中p为价格，且R（1）＝1，则R（p）＝________．
（12）若曲线y＝x3＋ax2＋bx＋1有拐点（－1，0），则b＝_________．
（13）设A，B为3阶矩阵，且|A|＝3，|B|＝2，|A－1＋B|＝2，则|A＋B－1|＝________．
（14）设X1，X2，…，Xn是来自总体N（μ，σ2）（σ＞0）的简单随机样本．记统计量
，则ET＝________．
三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本题满分10分）
求极限
．
（16）（本题满分10分）．
（17）（本题满分10分）
求函数u＝xy＋2yz在约束条件x2＋y2＋z2＝10下的最大值和最小值．
（18）（本题满分10分）
（19）（本题满分10分）
设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且
．
（Ⅰ）证明存在η∈（0，2），使f（η）＝f（0）；
（Ⅱ）证明存在ξ∈（0，3），使f″（ξ）＝0．
（20）（本题满分11分）
设
已知线性方程组Ax＝b存在两个不同的解．
（Ⅰ）求λ，a；
（Ⅱ）求方程组Ax＝b的通解．
（21）（本题满分11分）
设
，正交矩阵Q使QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为
，求a，Q．
（22）（本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求常数A及条件概率密度fY|X（y|x）．
（23）（本题满分11分）
箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3．现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数．
（Ⅰ）求随机变量（X，Y）的概率分布；
（Ⅱ）求Cov（X，Y）．