演绎推理：平方反比规律

《自然哲学的数学原理》的第一篇处理理想情况下的运动，共14章。第一章是一个数学准备，牛顿在那儿介绍了本质上是极限运算的“首末比”方法。他大概深受他大学里的老师（不是导师）巴罗的影响，是从讨论曲线上的点的运动入手而进入微积分领域的。这一方法在当时很不为人熟悉，所以先介绍一下当然是很必要的。我们以后会看到，正是对极限概念及其运算和运用的了解不足，使得牛顿同时代的其他物理学家未能真正提出天体运动的理论和证明。

第二章定理1是一个预备性定理，但意义极大。它考察一匀速直线运动的物体，在每隔一个单位时间受一恒大的向心力冲击时的运动规律，在这种力的作用下，该物体偏离原先的轨道，作折线运动。牛顿断言，在这种折线运动中，物体与中心的连线在单位时间内会扫过相等的面积，并以一种极其简单明了的方式作了严格的证明。这一证明对于今天任何一个初中学生说来都不难理解，但它所包含的物理思想非常清晰、非常深刻，以至于一直到现在，物理学大师们（例如费曼）仍把它当作物理证明的典范加以引用。

等面积定理最早是由德国天文学家开普勒在1605年发现的，并在1609年写进他的《新天文学》，从而引起世人注目。开普勒是从丹麦的第谷·布拉赫的大量观察资料中归纳出这一规律的。他断言行星在绕太阳的运行过程中，矢径在单位时间内扫过相等的面积。但他无法给出证明，只是以“发现了造物主的和谐”的惊喜心情接受了“这份礼物”。

的确，他对各种杂乱无章的观察数据有一种特殊的爱好，可以十年八年地沉湎于数字的海洋里，搜寻它们之间可能的联系；他对数字也有一种特殊的洞察力，在发现了等面积定律以后的十五年，科学界再次为他提出的一条经验定理感到眼花瞭乱，开普勒第三定律断言，行星公转周期等于其轨道半径的3/2次幂。留意他这次谈论的两个量：运转周期和轨道的平均半径。这是两个可以观察的，并且已经被精密观察过的量，T=r3/2，这可不是假说，也不含推理，这可是一个实实在在的观察事实，被以往观察所证实，而且可以由新的观察来证实。如果说T=r3/2以其优美使人赞叹，那么对所牵涉的运动的物理基础的罔然无知则更使当时的人感到震惊。它是如此令人困惑，以至于17世纪的物理大师们——伽利略、笛卡尔、惠更斯以及英国的胡克、哈雷，都未能把它当作一个真正的物理问题认真地研究过。(https://www.daowen.com)

惠更斯宁愿研究一些更加看得见、摸得着的问题。他在1673年发表的一篇著作的附录里讨论了圆周运动，其中命题2和命题3分别讨论了在这种运动中物体所受的离心倾向和旋转半径r，及与运动速度v的关系。联合这两个命题，就有了我们今天的离心运动公式a=v2/r。

牛顿说他没有读过惠更斯的这一著作，所以他把上述结果重证了一遍，这就是《原理》第二章的定理4。在附于这一定理的推论6中，牛顿漫不经心地提及，把离心力公式与开普勒的3/2次方定律合用，可以推出作用力是平方反比的，而且“反之亦然”！换言之，开普勒的3/2次方定律与平方反比的力的作用规律是一回事：一者成立则另一者必然成立。而且，这一貌似复杂的问题的证明非常简单，事实上，牛顿在《原理》中只用了一行半就证完了，以至于后来的读者都觉得，在牛顿的书里，意为“证完”的Q.E.I.（拉丁文Quod Erat Inveniendum，意为“此即所寻”）应读作“易于想象”（Q.E.I.），即Quite Easy to Imagine。

这在牛顿看来似乎仍旧没有什么了不起——牛顿说，早在1666年，他已经解决了这个问题了。当时为了躲避瘟疫他在家乡度假，一只苹果正好落在这位24岁的大学生的头上，引发了这样的问题：为什么苹果下落而月亮不下落呢？答案几乎是现成的：因为月亮多一种因运动引起的离心力，该力平衡了地球的吸引力即重力。这一重力以地球为中心，以平方反比的形式渐渐消减。因为月球的运动、地面的重力加速度均可以测量，所以可以用月亮的运动来验证平方反比的假设。在那个“值得赞叹的”1666年，他做了这一检验，并发现结果“差不多密合”。牛顿后来在《原理》第三篇中的命题4及命题37的推论7里又给出了详细的计算：如果一切都和他假定的一样，那么在巴黎的重物在下堕的第一秒末应当划过15英尺1英寸1又1/2英分的距离，这与惠更斯的测量结果15英尺1英寸1又7/9英分符合得很好。