六、两大困难

问题毕竟没有那么简单。一般说来，易于想象的东西并不总是易于证明的。在上面似乎清晰的推理中，还隐含着好几个重大困难。

困难之一：上面我们提及的定理4中的推理6所讨论的是圆形轨道，而开普勒所讲述的行星在宇宙空间划出的真实轨道是椭圆。《原理》第一篇第二章从定理5起即为转向椭圆轨道情形做准备，而整个第三章全都花在这一证明上了。其中命题11的证明最为关键，这一命题断言，在椭圆轨道上运行的物体所受的向心力与它到焦点的距离平方成反比。证明中，牛顿大量运用了古代阿波罗尼的圆锥曲线理论，而最精深微妙的是采用了运动的点相互趋近时比例的变化——被牛顿称为首末比法的新数学方法。

命题11以下的几个定理把平方反比的结论推广到其他圆锥曲线上，定理6和定理7在严格的开普勒条件下推出了面积定律和3/2次方定律。至此，牛顿处理开普勒所提出的神秘的天体运动规律达到了高潮，他现在已经证明，行星运动的三大规律：轨道为椭圆且扫过等面积、3/2次方定律和向心力作用的平方反比规律相互包容，即一者的成立必然导致另外两者的成立。(https://www.daowen.com)

困难之二：前面谈论的距离应当如何定义，是从地球的表面算到月球的表面呢，还是从地球的质心算到月球的质心。在计算月-地系统的问题时，这两个距离差不多可以看作是一回事，对月地距离即59.5个地球半径说来，1个地球半径可以忽略不计。但对地球表面的物体，即使是在海拔1000米的山上，6700公里的地球半径可不能忽视。第12章定理31处理了这个本质上是一个积分的问题，断言可以认为质量在引起重力作用时，表现为集中在它自己的几何中心。