对应概念和玻尔模型的完成

七、对应概念和玻尔模型的完成

现在玻尔可以给出如下的原子图景，它几乎就是一个小小的太阳系：电子在分立的、特定的、被称之为定态的轨道上绕着很重的核运行，当电子在这些轨道间迁移时，发出线光谱，谱线频率通过普朗克公式与定态的能量差联系起来（图2）。

1913年3月6日，玻尔把论述原子模型的论文《论原子和分子的组成》的第一部分寄给了卢瑟福。从2月初汉斯·汉森来访到这篇物理学中具有划时代意义的论文的出现，恰恰是四个星期。在完成上述图景以后，玻尔通过进一步的运算，完成了整个模型的构造。

从与太阳系的类比出发，玻尔运用了四百年前开普勒（J.Kepler）用来计算行星公转周期的公式来计算电子绕原子核的绕行角频率ω，并得到

这儿W是能量，e和E分别是电子与核的电量，m是电子的质量。另一方面，他又利用了普朗克的能量-频率关系式写出了W=τ·hν，这儿的τ是任意正整数。显而易见，上述关于ω的第一个等式是定态概念的发展，而关于v的第二个等式则涉及电子跃迁中能量和频率的联系。

但是，稍微仔细一点的分析表明，这两式一个是经典力学的结果，它要求能量连续；另一个则是量子理论的基石，它是以能量量子化为自己的前提的；另一方面，这两式一个刻划电子在定态中活动的机制，另一个则牵涉我们在实验中观察的现象。要把这样两个在基础上不相容，在物理上又分属于不同领域的等式联接起来，的确是困难的。而且，从数学上看，上述两个式子中牵涉到ω，v和W三个未定的量，由此也不能得出唯一的结果。(https://www.daowen.com)

玻尔认为，谱线的频率v和电子轨道上绕行的频率ω既然都和一个电子有关，那就不能认为它们是相互独立的，用玻尔的话说，应当可以认为它们在某种意义下“相合”。玻尔根据他手头唯一可以信赖的实验依据——巴尔末公式形式不变的要求，利用待定系数法得出ω↔2ν。

玻尔把这一理论用于氢原子，推导出了理论的“巴尔末公式”，在这一理论形式中，巴尔末公式中原先出现的一个实验常数，被明确地表示为几个更加基本的常数的组合：R=2π2me4/h3，利用当时已知的e，e/m，h数值，玻尔得出这一常数值应为3.1×1015，而当时的实测值为3.29×1015，两者相差不到6％。玻尔在他的论文中谨慎地写道：理论与实验值的符合程度在实验误差之内。

事实上，如果玻尔能有更好的e，m，h值的话，这种符合程度还可以进一步提高，例如在1913年3月6日给卢瑟福的信中，玻尔利用3.290×1015的实验值“倒推”出普朗克常数h=6.76×10-27，这个值与今天精密确定的普朗克常数6.626×10-27非常接近，相对误差在1.9％上下。无论如何，这样的符合在当时也是非常令人满意的。

可以看出，把上述ω式和v式连接起来，利用ω↔2ν把大量子数时“通常的电动力学”即经典物理学的规律同量子规律联系起来，进而把微观机制与宏观现象联系起来，是构造氢原子模型的最后的、也是相当关键的一环。玻尔完成这一步所依赖的是一种他后来称之为“对应”的观念。但是，在玻尔的原始论文中，这种“对应”概念，不同于著名的定态和跃迁两大假设，不是用明显的公理或假定的方式，而是以一种“不言而喻”的方式引入的，对此，玻尔既未予特别的讨论，也未作明确的保留。这种比较简单的处理方式表明这种联系对于玻尔说来，简直是一种先验的信念，这种信念的起源，可以一直追溯到物理学深入到非直观的原子-分子过程的时候。

我们注意到，玻尔三年以后写的一篇总结性论文《论线光谱的量子理论》中，对应观念的地位较之1913年的原始论文明显地提高了，虽然未与定态、跃迁两大概念并列为第三公理，但从行文顺序看，鼎足之势已成。而对于氢原子模型说来，引进对应概念，推出氢原子能级，从而解释了巴尔末公式，从理论上算出了里德堡常量，这就可以说是无可怀疑地确立起来了。