薛定谔方程的意义
这个问题的数学解释是比较困难的。事实上，光和物质表现出了既具有粒子特性又具有波动特性。这里，我们是指经典的宏观粒子和经典的宏观波而言的。于是，我们可以问：光是一种波动现象还是仅由粒子组成？还有，譬如对电子也能提类似的问题。
为了解答这类问题，我们必须借助一种思想方法，即1905年由爱因斯坦引入的办法，那时他揭示了如何去分析同时性这个表面上看来十分简单的概念，并得出了合乎逻辑的惊人成果。
采用了类似的方法，如海森堡于1927年首先在一篇著名文章中表明的那样，我们发现：诸如粒子轨道的经典概念、波动的经典概念，在我们企图把它们应用到微观客体上去时就不行了。通过做一些实验，可以“证明”我们是正在研究一种波，但是同时要对该对象作必须要表明我们也正在研究微粒的实验，这是不可能的。反之亦然。量子条件是这种进退维谷的根源。
如果我们希望同时测定一个质点的坐标和它的动量，我们就会遇到由于质点的波粒二象性所产生的矛盾。为了说明这个困难，海森堡探讨过许多实验。这些实验表明：由于粒子——如一个电子——的波粒二象性，上述的测量不可能获得成功。测量结果的精度受到一个由海森堡建立的称做测不准原理的著名关系式的限制。令Δq为影响坐标测量的必然误差，Δp为动量测量的类似的误差，我们有：
当然，误差这一述语，这里并不是指实际仪器的不完善性所引起的那种误差，而是指必然现象中内在的误差。如发射一个量子引起的反冲，或者一个波通过一条狭缝产生的衍射。
测不准方程式严格地与量子条件pq-qp=h/2πi有关。测不准关系仅仅对那些矩阵不对易的量成立。海森堡的划时代的论文——受到了玻尔的赞扬——其中他就写下了这些思想。泡利对从海森堡给他的一封信中获悉的这一理论也表示热烈欢迎。(https://www.daowen.com)
在我们日常生活中，我们同具有与人类相关尺度的对象打交道没有机会去经历测不准原理所引起的那些限制。因此，一般人是不了解这些的。如果我们去观察宏观物体，由于观察所引起对物体行为的扰动完全可以忽略不计，则我们就避免了测不准原理所产生的逻辑限制。即使发射体是一块很小的晶体，发射到我眼睛（因我需要察看这块物体）的一个量子的反冲仍可忽略不计，则我就不必担心由于我的观察引起它的动量变化。但是，在发射的粒子是一个原子的电子时，这种反冲作用大到足以影响它以后的运动。因此，这种观察本身就扰动了被观察的物体。在这种情况下，人们可以理论上使用一种测量坐标和动量的临界考察过程导出这个测不准关系来。
通过一个例子，我们对此就能理解透彻。假定我们有许多相同的系统，或者在同一系统中多次重复做同一实验。在我们不考虑技术上的限制的意义上来说，假定我们使用了完好的仪器设备。然而，我们不能不顾及自然定律所引起的限制。我们测量一个电子的坐标许多次，每次得到一个q值；q值的平均值为<q>，我们定义Δq为
，即q的偏差的均方根；p的情况也一样。现在让我们假定：我们的测量是观察电子通过在x方向上宽度为a的狭缝；则Δx=a。假若这个电子通过这狭缝时，在y方向上的速度uy完全垂直于狭缝平面。然而，在该电子通过狭缝之后，它的方向可能发生变化，因为电子受到了衍射。这样，电子在x方向上得到了一个速度，这个速度由衍射宽度决定，约为（λ/a）υy。对于λ，我们有必要代入德布罗意波长h/mυy。从这些关系式，立即可得：
如果我们缩小这个狭缝，使得a变小，Δpx增长数恰好如a的减少数。事情的本质是物质质点显示了粒子和波动的两重行为。因此，单从一种观点想要给出一个精确的描述，这是不可能的。
另有一种测不准关系式陈述为：在时间间隔Δt中，我们能测得一能量精确度为ΔE，应满足：
除了这些在经典物理学中所没有的限制以外，而由此引起的量子力学问题表述方式也完全不同于通常的宏观表述方式。例如，有一个力学系统，如一个氢原子（为简单起见，我们忽略了自旋），要是问及关于轨道或其他的因电子具有波粒二象性而不容许测量的概念，这是毫无意义的。然而，我们可以询问关于能量、角动量以及其他一些可测的量。理论给我们开出了一份测量结果可能值的一览表。在一个氢原子的能量的特殊情况中，能量为负值时为-2πz2e4/hn2或者都是正值。（能量为零时，电子在离核极远距离上处于静止状态）。角动量，一览表中列出为lh/2π；这里的l是一个整数，零或正数。而且这个理论给出在某种情况下寻得表中特定值的几率。另一方面，在经典物理中，一览表中给出这些量值的一个连续区，我们可以确切指明在某种确定情况下应得到的值。
关于物理问题的量子力学公式很简要的概括，参见附录10。
