9.玻尔的氢原子

设想一个由无限大的质量中心和以静电方式吸引一个电子的正电荷e组成的原子。这个电子的轨道应该是以这个原子的核（无限大质量）为一个焦点的开普勒椭圆。为了简单起见，我们只考虑圆形轨道。令这个电子的质量和速度为m和υ，其角速度为ω，离核的距离为r。在离心力和库仑力达到平衡时，我们有等式：

如果原子核的质量是有限的，这类方程式也能成立，只要用Mm/（M+m）（折合质量）来代替m，如果这个原子核带有Ze正电荷，如在类氢离子情况中那样，则用Ze代替式中一个e。此后，m即是折合质量。

依照惯例，体系的能量为零时相当于电子静止在离原子核的无限远处情况。这时的轨道能量为：

从方程式（2）可得：

从轨道1到轨道2的量子跃迁的辐射能量，按照玻尔的假说，由下式给出：(https://www.daowen.com)

巴耳末系公式为：

这里假定R/是特定轨道的E1/h的表示式。我们要求：对于相应大轨道的大n值，而n的最小的跳跃（一个单位），巴耳末系公式给出一种趋向经典值的频率，即等于ω/2π。

巴耳末公式给出v的近似式：

ω从方程式（3）可得，联立这两个表示式，并用hR/n2替代|E|，则有：

通过第二项与最后一项的相等，得出：

把R的值代入方程式（5），我们就有：

E值为负时属于束缚态；所有的正能值，属于典型的双曲线轨道，都是允许的。它们形成了一个连续谱。

允许的轨道半径是：

轨道速度是2πe2Z/hn，角动量由方程式（9）和（6）计算得：

以h/2π为单位的角动量的整数倍值是许可轨道的特征。这也能用作量子化的条件。