爱因斯坦的A和B

7.爱因斯坦的 A和 B

考虑在密度为u（v，T）的一黑体辐射场中一个具有两个量子状态r和s的体系。设量子态为s的体系个数为ns，r态的为nr。玻耳兹曼很早就求出了热平衡时的比率ns/nr，它由下式给出：

这就是被称谓玻耳兹曼定律——统计力学的基本定律。

处于s状态的体系单位时间自发跃迁到r态的几率为A，因辐射作而跃迁到r态的几率（正比于辐射密度）为Bu（v，T）；同样情况，处在r状态的体系单位时间因辐射而转入s态的几率为Cu（v，T）。能量之差E3-Er除以h为通过跃迁发射和吸收的辐射频率。这频率也是计算u（v，T）必须要的。处在平衡状态时，单位时间中向两个方向的跃迁数必须一样。因此有

结合玻耳兹曼定律和这个平衡条件，可以得到：

在T趋向无穷大时，u（v，T）变得很大，A≪Bu（v，T）和exp［-（E3-Er）/kT］=1，因此，必然B=C，然后再解u（v，T），可得到：

根据维恩的热力学定律，u（v，T）=v3f（v/T）对任何体系都适用，我们一定能推断得，E3-Er正比于v，A/B正比于v3。于是，对于关系式E3-Er=hv，我们得到一个异常好的明证。如果在hv≪kT时，u的表示式变为一个近似式u=AkT/Bhv，这时它应与瑞利-琼斯公式u=8πv2kT/c3一致。从这个要求出发，求得A/B=8πhv3/c3。因而，我们得到了普朗克定律的完整推导。相反，如果我们采用普朗克定律，则我们得到A/B值的推导。这个比值也能通过量子力学方法计算一特定例子而得到。