2.3.2 赌胜博弈
赌博、竞技等构成的博弈问题,在经济学中也有许多应用,其中赌胜博弈是一类重要的博弈问题,对经济竞争和合作有很大的启示。赌胜博弈是零和博弈的一种,是一场一个博弈方胜利必有另一个博弈方失败的博弈。扔硬币、猜正反和石头剪刀布都是我们熟悉的赌胜博弈。另外,前面在介绍博弈论时提到的田忌赛马也属于赌胜博弈。在这类博弈模型中,一般只有两个博弈方,且一个博弈方胜利之后,另一个博弈方就会失败。
例2-2 赌胜博弈
下面我们来看3个经典的赌胜博弈模型:田忌赛马、猜硬币、石头剪刀布。
田忌赛马:齐国的大将田忌常同齐威王进行跑马比赛,每次比赛田忌总是输给齐威王,田忌十分郁闷。孙膑是田忌的军师,于是孙膑给田忌出谋划策,说:“将军和齐威王的马我都看了,都分为三等,即上等马、中等马、下等马。虽然都是相同的等级,但是将军的马匹的能力还是稍微逊色于齐威王的马匹。将军每次比赛都是按照上等马、中等马、下等马的顺序出战,而齐威王也是以上等马、中等马、下等马的顺序来对阵您,所以您就会输掉比赛。下次赛马时您按照我的办法派出马匹一定会赢,首先用您的下等马去对阵齐威王的上等马,其次用您的上等马去对阵齐威王的中等马,最后用您的中等马去对阵齐威王的下等马。这样您就可以三局两胜的优势拿下比赛。”
该博弈中有两个博弈方:齐威王和田忌,即Γ={1,2}。两个博弈方都可以选择自己马的出场次序,因为三匹马的排列次序总共有3!=3×2×1=6种,因此双方各有6种可选择的策略,策略集合可以表示为
假设比赛前不能预先知道对方的决策,双方同时做出决策,即决策没有先后次序。我们假设每次比赛输一局就输一千金,效益记为-1;否则就赢一千金,效益记为1。这里我们画出如图2-2所示的效益矩阵(注意:同一等级的马匹,齐威王的马匹会更胜一筹)。
图2-2 田忌赛马的效益矩阵
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最后我们来想一想:比赛之前,孙膑给田忌出的计策一定会生效吗?答案肯定是不一定!孙膑赢得比赛一个很大的前提就是:提前知道齐威王的出马顺序,也就是在知道对方出马顺序的前提下采取有针对性的策略。但是在真实比赛中两人是同时出马的,所以最后的结果就不一定是田忌赢得比赛。此外,当双方同一等级的马匹出战时,齐威王的马匹更胜一筹,这也是影响田忌赢得比赛的一个很大阻碍。我们需要从中学到的是孙膑的“博弈论思想”,在知道对方策略的情况下,我们应该采取怎样的计策才能赢得比赛。
猜硬币:两人通过猜硬币的正反面赌输赢,其中一方用手盖住一枚硬币,也就是盖硬币方;另一方则猜测被盖住的硬币是正面朝上还是反面朝上,被称为猜硬币方。如果猜对就赢得比赛,效益记为1分;否则就输掉比赛,效益记为-1分。
这个博弈的效益矩阵可以参考图2-3,可以看出这个博弈中博弈方也是两人,即Γ={1,2},策略集合为si={正面,反面},从效益矩阵中可以看出每轮博弈中只能是一方取胜,另一方输,这就是赌胜博弈的特点。
图2-3 猜硬币的效益矩阵
石头剪刀布:该游戏的规则是,不同的手势分别代表石头、剪刀和布,要求两个博弈方同时出其中一种手势,手势相同为平均,效益记为0;手势不同时,石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头,胜利方效益记为1,失败方效益记为-1。显然每场游戏中只能是一方获胜,另一方失败。
该游戏的效益矩阵可以参考图2-4,石头剪刀布其实是一个随机的游戏,3种手势相互制衡,单独一场游戏是没有必胜的策略的。
图2-4 石头剪刀布的效益矩阵
经过以上的介绍,相信大家对赌胜博弈的模型有了大致的了解,其实上面介绍的田忌赛马、猜硬币以及石头剪刀布都是零和博弈,该博弈的特点就是博弈方之间的利益始终是对立的,偏好通常不同,具体的细节将在2.4节进行介绍。
