|4.2 信 息 集|
在博弈论中,一个博弈的信息结构在表述上常常会变得含混不清,因此我们需要技术性的定义把信息结构表达得更加精确,才能搞清楚“谁在什么时候知道什么”。这一点是通过知识的基本单元“信息集”实现的。信息集是指参与人根据可以获得的信息,认为博弈可能已经到达的信息节点的集合。
在博弈树中,其上的所有决策节分割成不同的信息集。每一个信息集都是决策集合的一个子集。参与人i在博弈的任何特定时间点上的信息集ωi是指在博弈树中他认为有可能是实际节的不同节的集合,而参与人i直接靠观察是无法进行区分的。即参与人i的信息集表示参与人在不同选择路径上节点的集合,也就是说参与人i知道现在该谁行动了,但是却不知道博弈已到达了博弈树中的哪个具体位置,博弈参与者不知道自己位于同一个信息中的哪个博弈节点上。如果博弈是完美信息的,每个信息集只能有一个参与者,如果参与者不能获取博弈中的所有信息,有的参与者可能就不知道博弈的状态以及自己周围的形势。引入信息集的目的是更好地理解当一个人要做出决策时,他可能并不知道“前面”发生的所有事情,之所以说“前面”是因为博弈树决策节的排序并不一定与真实的时间顺序保持一致,而更多地代表信息所到达的或是决策进行的先后关系。
在完全信息动态博弈中,我们规定如果将博弈树的多个节点用虚线连接起来(或是圈在一起),表明这些节点位于同一个博弈信息集中。为了更好地阐述信息集的概念,在这里可以通过“3人罢工博弈”这一经典案例来说明其含义以及其在动态博弈中的重要性。
3人罢工博弈:假设某公司雇用了3名员工,年底该公司老板宣布第二年不涨工资,这个消息引起了公司中3名员工的不满,因此这3名员工考虑第二天是否通过罢工来抗议。
通过对公司结构进行分析,会得到这样的结果:如果3名员工都罢工,那公司将无法运转,老板会被迫给每个人涨工资,3名员工均得到效益6;如果有两名员工选择罢工,有一名员工不罢工,不罢工的员工会被老板奖励,得到效益8,而罢工的员工各得到效益3;如果一名员工罢工,两名员工不罢工,公司可以正常运行,老板会把选择罢工的人开除,不罢工的员工各得到效益2,而罢工的员工效益为0;如果3人都不罢工,那么老板不会涨工资,3名员工的效益各为1。
在完全信息的动态博弈中,我们假设员工1会率先做出决策,员工2会在员工1决定之后再进行选择,员工3最后进行选择。在这里我们默认“罢工”用“H”表示,不罢工用“O”表示。
图4-5是3人罢工博弈的博弈树。它表示员工2可以获得员工1选择动作的信息,即员工2可以知道员工1是否选择了“罢工”这一动作,员工3可以获得员工1和员工2两人是否选择罢工的情况。在决策树最下面括号中的数字分别为员工1、员工2、员工3做出选择后所对应的效益。例如,(3,3,8)代表在员工1、员工2选择罢工而员工3选择不罢工时,员工1、员工2的效益均为3,员工3的效益为8。此时,博弈树中的7个决策节被分割为7个信息集,其中一个属于员工1,两个属于员工2,4个属于员工3。在这种完全信息的条件下,这意味着所有的参与人(即这3名员工)在决策时都清楚地知道自己处于博弈中的哪个决策节。
图4-5 3人罢工博弈的博弈树
对3人罢工博弈的条件做一下改动,假设员工2不知道员工1做出的决策。在这种情况下,博弈树如图4-6所示。该博弈树同样表示员工1到3先后做出决策,但是不同的是员工2在员工1做完决策后不知道员工1的选择,此时只有一个信息集,我们将员工2可能所在的两个博弈节点用虚线连接起来。而员工3是完全信息的,也就是他知道员工1和员工2的罢工情况并可以根据该情况做出选择。
图4-6 员工2只有一个信息集的博弈树
图4-7所示的博弈树表示员工3不能观察到员工2的决策策略的情况。在此博弈树中,员工2知道员工1的策略,而员工3只知道员工1的罢工选择却不知道员工2的。因此在这种情况下,博弈树中会有两个信息集,分别是员工1选择罢工条件下员工2选择未知的信息集1以及员工1选择不罢工条件下员工2选择未知的信息集2。每个信息集的节点都用虚线连接。
图4-8所示的博弈树表示员工3不能观察到员工1的决策策略的情况。在此博弈树中,员工3知道员工2的选择,但是对员工1做出了怎样的决定却知之甚少。因此在博弈树中有两个信息集,分别是信息集1和信息集2,分别表示员工2罢工而不知道员工1的决策和员工2不罢工而不知道员工1的决策情况下的信息集。每个信息集的节点都用虚线连接。(https://www.daowen.com)
图4-7 员工3不能观察到员工2的决策策略
图4-8 员工3不能观察到员工1的决策策略
图4-9所示的博弈树表示员工3既不能观察到员工2的决策策略,也不能观察到员工1的决策策略的情况。由于员工3获取不到任何信息,所以他完全不知道自己在博弈中所在的位置,在这种情况下,在博弈树中员工3只有一个信息集,其有4个博弈节点(即博弈树中第三层的4个节点)。
图4-9 员工3不知道员工1和员工2的决策策略
图4-10所示的博弈树表示3名员工都只有一个信息集的博弈,即员工2不知道员工1的策略,员工3既不知道员工1的策略也不知道员工2的策略的博弈。根据上文可知,员工2和员工3都只有一个信息集,表示方法如图4-10所示。
图4-10 3名员工都只有一个信息集的博弈
在博弈中,所谓的“博弈先后顺序”,它主要是一个信息的概念,而不是一个纯时间先后的概念,所以博弈树不仅能表示动态博弈,还能表示静态博弈。在静态博弈的经典案例囚徒困境的博弈中,下面的两种博弈表达方式所表达的博弈内涵相同。在图4-11中,左图的博弈树表示由于嫌疑人甲不知道嫌疑人乙有没有坦白,所以对嫌疑人甲来说只有一个信息集;右图只是将嫌疑人甲、乙调换了博弈的位置,策略组合所导向的结果是完全一样的。这说明了博弈树中的博弈顺序并不是一个时间上的概念,而是代表逻辑上的决策先后顺序。
图4-11 囚徒困境的博弈树
在完全且完美信息动态博弈(dynamic game with perfect and complete information)中,每个博弈参与者都知道在自己之前进行决策的参与者选择的策略和博弈结构。在博弈树中每个节点都独立构成一个信息集,没有用虚线连接两个或多个博弈树节点的情况。
