|4.3 逆向归纳法|
求解完全且完美信息动态博弈的重要方法之一是逆向归纳法,这也是求解4.4节中所提的子博弈完美纳什均衡的最简单方法。逆向归纳法的逻辑基础是在动态博弈中先行为的理性博弈者在前面阶段的决策中会考虑后行为博弈者在后面阶段中将会选择怎样的行为,只有在博弈中最后一个阶段选择的,不再有后续阶段牵制的博弈方,才能直接做出明确的选择。当后面阶段博弈方的选择确定后,前一阶段博弈方的决策就变得简单了。其基本思路是从动态博弈中的最后一个阶段开始,局中人都根据效益最大化的原则进行动作的决策,然后逐步倒推至前一个阶段,直到博弈初始阶段的人进行行为的选择。在完全且完美的动态博弈中,先行为的理性博弈人在前面阶段选择策略时,必然会考虑后行为博弈者在后面阶段中将会怎样选择策略。逆向归纳法的特征为:
①博弈的行为是顺序发生的,先行为的理性博弈者在前面阶段选择行为时必然会考虑后行为博弈者在后面阶段中将会怎样选择行为,只有在博弈最后一个阶段选择的,不再有任何后续阶段影响的博弈者,才能直接做出明确的选择;
②后面的博弈者在做出决策之前,所有以前的行为都可以被观察到,而当后面阶段博弈者的选择确定以后,前一阶段博弈者的行为也就容易确定了。
在博弈论中,有个非常著名的案例“海盗分宝博弈”,我们通过分析这个案例来对逆向归纳法进行直观的介绍。
海盗分宝博弈:5个海盗获得了100枚金币,但是就瓜分金币的规则产生了分歧。为了解决金币的归属问题,海盗们制定了如下规则。
5个海盗首先进行抽签,确定决策顺序。
5个海盗按照决策顺序依次提出对100枚金币的分配方案。
第一个海盗提出一个分配方案,如超过半数的海盗(包括提出分配方案的海盗)同意第一个海盗的分配方案,即大于等于3个海盗同意第一个海盗的分配方案时,那么该方案被通过,博弈结束。
如果第一个海盗提出的分配方案没有得到超过半数海盗的同意,那么第一个海盗将被扔到海里喂鲨鱼。
接下来由第二个海盗提出分配方案,如果超过半数的海盗,即大于等于3个海盗同意第二个海盗的分配方案时,那么该方案被通过,博弈结束。
如果第二个海盗提出的分配方案没有得到超过半数海盗的同意,那么第二个海盗也将被扔到海里喂鲨鱼。
接下来由第三个海盗提出分配方案,如果超过半数的海盗,即大于等于2个海盗同意第三个海盗的分配方案时,那么该方案被通过,博弈结束。(https://www.daowen.com)
如果第三个海盗提出的分配方案没有得到超过半数海盗的同意,那么第三个海盗也将被扔到海里喂鲨鱼。
接下来由第四个海盗提出分配方案,如果超过半数,即剩下2个海盗都同意第四个海盗的分配方案时,那么该方案被通过,博弈结束。
如果第四个海盗提出的分配方案没有得到超过半数海盗的同意,那么第四个海盗也将被扔到海里喂鲨鱼。
这时就只剩下第五个海盗了,第五个海盗将独吞抢劫来的100枚金币,博弈结束。
在这种分配规则下,第一个海盗将提出怎样的分配方案?
第一个海盗提出的分配方案需要满足两个条件。
第一:保证超过半数的海盗同意第一个海盗的分配方案。
第二:第一个海盗需最大化自己能分到的金币。
如果直接从第一个海盗的决策策略入手,此问题相对复杂。
不妨从第五个海盗入手,然后按照从后向前的顺序依次逆向考察海盗的策略选择。利用逆向归纳法对海盗分宝博弈进行分析,如表4-1所示。首先从5号海盗开始,由于他是最后一个人,所以对他来说最优情况是前面的人都喂鲨鱼,他独吞100枚金币。4号海盗的生存机会取决于前面还有人活着,因为在只剩两个海盗的条件下,无论4号海盗提出怎样的方案,5号海盗都会否决。对于3号海盗,他知道无论自己怎样分配,4号海盗都会为了保命无条件赞成,因此他就会提出分给自己全部100枚金币,分给4号、5号海盗0枚金币这样的方案。在3号海盗方案的基础上,2号海盗会提出(98,0,1,1)的方案,因为这样4号和5号海盗至少可以获得一枚金币,这相比3号海盗的方案更有利,因此他们会投赞成票。依此类推,1号海盗可以提出(97,0,1,2,0)或者(97,0,1,0,2)的方案,由于1号海盗的分配方案对于3号与4号或5号海盗来说,相比2号海盗的方案可以获得更多的效益,因此加上1号海盗自己至少会有3个海盗投赞成票。
表4-1 通过逆向归纳法推导出的财宝分配方案
