4.4.1 子博弈的基本概念
子博弈是在动态博弈中由满足一定要求的原博弈局部构成的次级博弈。作为原博弈的一部分,它本身可以作为独立的博弈进行分析。子博弈包含博弈所需的各种信息,能独立构成一个博弈。
定义4-3(子博弈)
由一个动态博弈第一阶段以外的某个阶段开始的所有后续博弈构成的,有完整的信息集和进行博弈所需要的全部信息,能够独自构成一个博弈且是原博弈的一部分,称为原动态博弈的一个子博弈。
从博弈树的角度来看,子博弈可以看作博弈树的子树,包含从单个节点开始的所有后代节点。一个博弈的子博弈需要满足以下4个特征:
①子博弈的起始节点不能是原来博弈的起始节点;
②子博弈不能分割信息集,即如果一个节点在子博弈中,那么包含此节点的整个信息集必须在此博弈中;
③有些博弈包含多个子博弈;
④有些博弈没有子博弈。(https://www.daowen.com)
为了更好地介绍子博弈的概念以及划分子博弈的方法,我们以有两个信息集的3人罢工博弈的博弈树为例进行分析。如图4-12所示,该博弈树表示员工3不能观察到员工2的决策策略的情况,但是员工2知道员工1的策略,因此博弈树中有两个信息集,分别是信息集1和信息集2,分别表示员工1罢工及不罢工两种状态下,员工3不知道员工2决策情况下的信息集。我们知道在划分子博弈时不能将处在同一信息集的博弈分割开来,所以如果按照图4-13所示的方式划分子博弈,就会把信息集2割裂开来。这种划分方法虽然满足包含从单个节点开始的所有后代节点这一条件,但是它不满足包含此节点的整个信息集都在子博弈中这一条件,所以这种分割方法是错误的划分子博弈的方法。而按照图4-14所示的方法划分子博弈,可以看出这种划分方法在员工1选择罢工的条件下,将博弈的第二阶段也就是员工2进行动作选择的节点作为子博弈的起始节点,包含后续所有的后代节点,并且完整地包含信息集1。根据子博弈的定义可知,这种划分方法满足上述所有规则,所以按照图4-12左边方式划分出来的博弈树可以看作原博弈的一个子博弈。
图4-12 有两个信息集的博弈树
图4-13 错误的子博弈树
图4-14 正确的子博弈树
根据上述子博弈的概念,逆向归纳法还可以理解为在求解动态博弈时,首先找到博弈顺序在最后一级的子博弈,找到子博弈中博弈参与者的最优策略选择,然后按博弈顺序由后向前逆向归纳,直至博弈树的初始节点,从而找到使动态博弈达到均衡的策略组合,这种均衡被称作子博弈完美纳什均衡。
