4.4.2 子博弈完美纳什均衡
给出子博弈的概念后,就可以引出分析动态博弈的“子博弈完美纳什均衡”的概念,在这里我们用通俗的语言来阐述子博弈完美纳什均衡的定义。
定义4-4(子博弈完美纳什均衡)
如果在一个有限完全信息动态博弈中,各个博弈者的策略组合满足在整个动态博弈及其子博弈中都构成纳什均衡,那么这个策略组合称为该动态博弈的一个“子博弈完美纳什均衡”。子博弈完美纳什均衡包含两层含义:①它是原博弈的纳什均衡;②它在每一个子博弈上都给出纳什均衡。
在静态博弈分析中,我们所说的战略是指参与人声明他们将做出何种选择,而他们往往也是按照声明做出实际选择的;在动态博弈中,战略尽管仍具有这种含义,但在博弈的行为策略选择上,后进行选择的博弈者可以根据博弈进行到此时对参与人所获效益最大的方式选择行动,而放弃事前所声明的行动。这意味着在动态博弈中,即使参与者按照事前所声明的战略组合构成一个纳什均衡,而这些战略又规定了各个参与人在其所有信息集上的选择,这些行动选择也可能并非参与人在对应信息集上的最优行动选择。而当博弈实际进行到那些由纳什均衡战略规定的行动并非最优行动选择的信息集时,按照人性的假设,可以想象参与人为了自己的效益考虑并不会按照纳什均衡战略所规定的方式去选择,而是选择可以获得最大效益的最优行动。在这种情况下,纳什均衡就是不可信的,即不能作为模型的预测结果,按照“完美”纳什均衡的思想,应将其消掉。这就是子博弈完美纳什均衡与纳什均衡的不同,二者的根本区别就在于子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威胁或承诺,因此是真正稳定的,而不是子博弈完美的纳什均衡做不到这一点。博弈论专家常常使用“贯序理性”的概念,是指不论过去发生了什么,博弈者应在博弈的每个节点上都最优化自己的策略。子博弈完美纳什均衡的理念就是要求博弈者应该是“贯序理性”的。
引入子博弈完美纳什均衡的目的就是解决纳什均衡无法排除的不可信的行为选择问题。如前文所讲,在纳什均衡中会存在选择的策略组合包含不可信行为的情况,这些不可信行为在博弈的子博弈中没有使某一方博弈者的自身效益最大化,因而在子博弈中不构成纳什均衡,子博弈完美纳什均衡要求所有子博弈都满足纳什均衡,就排除了存在不可信行为选择的可能性,从而在动态博弈分析中具有真正的稳定性。
针对纳什均衡中的可信性问题、逆向归纳法的使用问题以及子博弈完美纳什均衡问题,我们都以投资博弈问题为例进行分析介绍。
投资博弈问题:投资博弈的场景如下。甲需要四百万元去新建一座工厂,但是他此时还差一百万元的资金,而乙可以拿出一百万元来与甲合作。这时,甲需要与乙进行商议,并承诺如果乙愿意出资一百万元来合作开厂,获得的利润可以二人平分。那么乙此时是否应该出资与甲合作呢?假设工厂的产出是可以得到保障的,乙所需要考虑的问题仅是在合作之后,甲是否会信守承诺付给自己一半的利润。因为万一甲携款潜逃或者毁约,乙将亏损一百万元。
如图4-15所示,乙有投资和不投资两种选择,如果乙选择不投资,则博弈会因为甲没有足够的资金建厂而停止,此时甲得不到建厂的利润,乙也得不到分红,但是可以保住本金。如果乙决定要投资,甲就有足够的资金建厂,此时又到达了甲的信息集。甲需要选择是如约和乙进行五五分红还是要毁约不给乙承诺的利润。如果进行分红,则甲会获得二百万元的利润,而乙的一百万元的成本也会涨到二百万元。如果甲选择毁约不进行分红,则可以独吞这四百万元,而乙也将亏损原本的那一百万元的投资资金。在博弈中,我们认为博弈者会以保障自身的最大效益为首要原则进行决策。在这样的原则下,甲会选择毁约不与乙分红而独吞这四百万元。此时乙也很清楚甲的想法,所以对于乙来说选择不投资而保住自己一百万元的本金为最合理的决策。
承诺没有约束性,使得甲、乙会有信任危机,从而使合作变为不可能。如果对承诺加以约束,使得甲愿意遵守诺言,情况会变得不一样。在这里,乙可以在甲违约时对甲提起诉讼,由于法律是公正且权威的,所以乙一定会胜诉。考虑上诉的经济成本,最终结果是甲会失去所有收入,而乙会拿回之前投资的一百万元。这样一来,博弈就会变成图4-16中博弈树所表示的三阶段动态博弈。加入第三阶段的博弈后,原博弈结果会变得跟原来不同。因为当博弈进行到甲决定不遵守承诺时,乙会通过上诉来保住自己的本金,这样一来,甲一分钱都得不到;如果甲选择遵守约定五五分成,这样甲还可以得到二百万元的利润。所以在第二阶段的博弈中,甲会选择给乙分红来实现自己的效益最大化。
图4-15 投资博弈
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图4-16 诉讼有利的投资博弈
如果条件再进行一些改变,在第三阶段中,由于打官司的成本太高且证据不够充分,如果乙选择打官司的话会导致乙不仅无法收回自己的成本,还要自己倒贴律师费和诉讼费,甲也会因涉嫌毁约被处罚而得不到效益。其决策树如图4-17所示,含义为第三阶段乙选择打官司但是要倒贴一百万元的损失,在这种情况下,乙在这个阶段选择打官司的威胁就变得不再可信,变成了空头威胁。因为如果不考虑个人被欺骗的情感,单纯从效益的角度出发,这个选择虽然会让甲颗粒无收,但是乙自己也要搭进去更多的钱,从效益的角度看打官司是不够理性的。此时甲虽然会有乙发起诉讼而损失利润的担忧,但是他也清楚乙选择打官司会恶化乙自身的财务状况,所以这个威胁是不可信的,甲最终还是会选择不分红,独吞所有利润。乙知道如果诉讼威胁变得不可信,那么之前与甲达成的协议甲一定不会遵守,所以对乙来说,一开始就拒绝甲的投资邀请是最明智的选择。
针对上述几个投资博弈的情况,我们不难看出在动态博弈问题中,各个博弈方的选择和博弈结果与博弈阶段选择行为的可信程度密切相关。即使博弈中的某一方扬言要采取某些行为来制约对方的行为决策,但如果这些行为本身会损害博弈者本人的效益,那么行为就不具有可信性。这种可信性问题对纳什均衡在动态博弈中的有效性提出了质疑。
我们还以投资博弈问题的第三种情况为例,用静态博弈中的纳什均衡来对该博弈进行分析。根据纳什均衡的定义,我们可知如果乙在甲提出投资邀请后选择了“投资合作”,在甲第二阶段选择“毁约”后,乙在第三阶段选择“打官司”;甲在第二阶段选择“遵守约定”,这种情况下的策略组合构成纳什均衡。按照这个双方所选择的策略,策略所导向的结果都是可以获得最大的效益的。如果有一方单独偏离都会对自己的效益造成损失。在这里,根据乙第一和第三阶段的策略,甲在第二阶段选择“遵守约定”分红是可以获得最大效益的,因为如果不遵守约定就会吃官司,得不偿失。而根据甲第二阶段选择“遵守”的策略,第一阶段选择“合作”以及第三阶段选择毁约后“打官司”也是可以使自己获得最大效益的,这样一来,这个策略组合就满足了纳什均衡。如果按照静态博弈中纳什均衡的性质,这个策略组合是具有稳定性的,而且该策略组合导向的结果是一种双赢的结果,按理说博弈双方都会遵守。
图4-17 诉讼不利的投资博弈
但是实际情况是,前文已经对这种情况进行了分析,即乙一开始就不会选择投资,这似乎和上文所述的纳什均衡的情况完全相反。问题的源头就在于在动态博弈中,纳什均衡具有不稳定性。纳什均衡不稳定的原因在于乙在选择打不打官司时,“打”这个选项明显是缺乏可信性的,因为这样做不符合自身效益最大化这一博弈的基本原则,而甲深知这一点,所以乙去上诉甲毁约这一威胁显得十分没有力度,甲自然在第二阶段的选择中会选择使自身效益更大的“毁约”,乙自己也深知自己的威胁没有效力,如果投资给甲,甲一定会毁约,所以一开始也不会选择投资。由此我们可以看出,在动态博弈中,除了要保证纳什均衡外,还需要一种方法去排除博弈中所有的不可信威胁,来保证博弈结果的可靠性。
在上面几种不同场景的投资博弈分析中,可以看出我们还是可以排除不可信行为的干扰,对甲、乙的最优选择做出正确的判断,这就是逆向归纳法的功劳。事实上,我们在前文分析博弈情况时,都是默认采用逆向归纳法进行分析的。前文提到,逆向归纳法的前提是博弈中的先行方在进行决策时必然会考虑后进行决策的人会做出怎样的选择,只有博弈中最后一个做选择的人才可以直接做出选择。在运用逆向归纳法解决动态博弈问题时,都要从可以直接做出选择的情况也就是博弈的最后一阶段入手,判断博弈者的选择以及博弈结果,这一阶段的博弈结果就可以作为前一阶段的条件来使用,这样一来,前一阶段此时就变成了博弈的最后一个阶段,博弈者就可以直接进行行为的选择。这个过程可以反复执行直到第一个博弈者做完选择。逆向归纳法保证了在博弈的每一个阶段都使得博弈者自身的效益最大化,有效地排除了不可信选择的威胁,因此逆向归纳法是对动态博弈做出合理分析的有效手段。换句话说,逆向归纳法求解出来的策略组合是满足子博弈完美纳什均衡的。
同样以投资博弈问题中的第三种情况为例。仔细分析不难发现,在博弈进行的第三阶段,乙选择“打官司”这一行为并不是该子博弈的一个纳什均衡。根据子博弈完美纳什均衡的定义,其要求博弈中的每个子博弈都构成纳什均衡。由此可看出上述策略组合满足子博弈完美纳什均衡的条件。通过逆向归纳法推导可知,在此条件下,乙在第一阶段选择“不投资”,甲在第二阶段选择“毁约”,乙在第三阶段选择“不打官司”才是一个满足子博弈完美纳什均衡的策略组合,因为博弈双方不仅在整个博弈中构成纳什均衡,在各级子策略上也符合纳什均衡的条件,这样就消除了不可信问题对博弈的影响,使博弈达到一个真正稳定的结果。
一个有趣的现象是,在上述的博弈中,在乙选择“不投资”之后,随后的策略即甲“毁约”,乙“上诉”都不会发生,我们称这两个策略对应的选择节点“不在均衡路径上”。即使不在均衡路径上的动作实际不会发生,他们的选择也是很重要的,也是构成子博弈完美纳什均衡的一部分。子博弈完美纳什均衡必须在进行博弈的双方的每一个决策节点上都做出选择,无论在不在均衡路径上,都必须在相应的子博弈中构成纳什均衡,这也是一个消除不可信威胁或是承诺的关键步骤,否则就不能保证这个策略组合是子博弈完美的纳什均衡。
子博弈完美纳什均衡在动态博弈中的作用与纳什均衡在静态博弈中的作用一样,是分析博弈问题最核心的方法和基本切入点。在对动态博弈相关问题进行分析时,要首先找出它们的子博弈完美纳什均衡,判断一个满足纳什均衡的策略组合可不可信时要判断这个策略组合是不是子博弈完美纳什均衡。
