4.5.1 重复博弈的基本概念
石头剪刀布的重复博弈:石头剪刀布的例子前面已经叙述很多了,这里不再对其中的效应进行讨论。举石头剪刀布的例子是为了引发大家对重复博弈的思考,图4-18所示为石头剪刀布统计学概率,可作为参考。
图4-18 石头剪刀布统计学概率
如何靠经验取胜?
①石头开始:男性总是喜欢第一次出石头。所以如果你和一位男性玩石头剪刀步,你可以试着第一次出布。
②剪刀赢布:有经验的玩家往往会第一次出布。如果你遇到这种玩家,你可以用剪刀。
③直接出布:如果无法预测,则按概率统计直接出布。
三局两胜:
①两次石头:如果对手出了两次石头,可以推断对手下次可能会出剪刀或布。
②模仿别人:没有经验的人通常会下意识地模仿你的最后一次出拳。
③赛前观察:观察对手的出招策略和偏好。
提问:重复博弈和单次博弈结果会有何不同?
虽然在形式上是基本博弈的重复,但在重复博弈中玩家的行为和结果不一定是基本博弈的简单重复。
当阶段游戏开始重复时,即双方的合作不止一次,可能是长期合作,我们就不能考虑即时利益,即阶段博弈的纳什均衡,而是考虑重复博弈的总效益。此时,双方需要保持默契合作,前提是这种合作对双方都有利,如果一方选择背叛,另一方将采取不合作的方式对其进行惩罚。因此,在重复博弈中,双方的最佳选择是“合作”。
定义4-5(重复博弈)(https://www.daowen.com)
给定一个基础博弈G,重复进行T次,并且在每次重复G之前各博弈方都能观察到以前博弈的结果,这样的博弈过程称为G的T次重复博弈,记为G(T),G则称为G(T)的原博弈。G(T)中的每次重复都称为阶段博弈[3]。
假设阶段博弈是有限的i个参与人在有限个行动空间A i中同时行动,其中阶段博弈的效益函数为g i:A→R,这里A=∑A i,令A i为A上的概率分布空间,R为经过效益函数映射的效益输出。
根据阶段博弈的重复次数,重复博弈可分为有限次重复博弈和无限次重复博弈。有限次重复博弈意味着阶段博弈的重复次数是有限的。当重复博弈没有可预测的结束时间时,博弈双方主观上认为博弈会继续,可以将其视为无限次重复博弈。一般来说,有限次重复博弈和无限次重复博弈有不同的平衡解。
每个阶段重复博弈的效益在时间上都有先后之分,当重复次数较少且重复间隔不长时,可以不用考虑。对于重复次数多、重复间隔长的重复博弈比赛,我们不能忽视它。此时,由于心理功能、资本等外部因素,不同阶段的效应价值对人们当前的行为选择的影响是不同的。如何处理未来效益对当前决策的影响?解决这个问题的方法是引进将后一阶段效益折算成当前阶段效益的贴现因子δ(对于贴现因子的详细解释可以参考7.2.2节说明1)。
如果一个T次重复博弈的某博弈方在某一均衡下各阶段效益分别为π1,π2,…,πT,则考虑时间价值的重复博弈总效益的现在值为
在无限次重复博弈路径下,某博弈方各阶段效益分别为π1,π2,…,则该博弈方总效益的当前值就是
无限次重复博弈也可以写成G(∞,δ)。
随机停止可理解为通过抽签来决定是否停止重复,设抽到停止的概率是p,重复下去的概率为1-p。
