|4.6 完全信息动态博弈举例|
2个手指:两名玩家交替地做出动作。动作可能是举起一个或两个手指。当一个玩家举起与另一个玩家在上一回合相同数量的手指时,他就输了。输家的收益是-1,赢家的收益是1。而如果两名玩家举起与彼此在上一回合不同数量的手指,游戏就会继续。
你怎么玩这个简单的零和游戏?谁会赢?显然没有人会输,因为输很容易避免,所以如果没有人输,就没有人赢。这两名玩家将永远比赛下去,博弈树会不断延伸,如图4-27中的虚线所示,博弈过程是无限的(这里用黑方和白方表示两名玩家)。
图4-27 2个手指的无限博弈树
我们也可以使用博弈有向图。非结束位置是由将要做出动作的是谁(黑方或白方),以及做出的是什么样的动作(伸出几根手指)决定的。有4个位置,分别是W1、W2、B1、B2。除了这4个位置还有白方要移动的起始位置,此时还没有人做过决策。另外还有两个结束位置,一个白方赢,另一个黑方赢。2个手指的博弈有向图见图4-28。
图4-28 2个手指的博弈有向图(https://www.daowen.com)
为什么博弈即使有一个有限的博弈有向图,但是它的博弈树却不是有限的?原因是博弈有向图是循环的。可以从某一顶点开始沿着弧线返回,就像上面例子中的W1→B2→W1。具有循环博弈有向图的博弈总是具有无限博弈树。如果顺序博弈具有一个非循环(非循环)有限对策有向图,则它是有限的。
连续立法者投票:3名立法者投票决定是否允许自己每年加薪2 000美元,如果多数人投票赞成,则3人都能获得加薪,否则不会加薪。由于选民都在关注投票结果,所以除了加薪结果外,立法者们还需要考虑自己的投票结果对自己政途的影响,在本问题中,将该影响具象化为1 000美元,即如果立法者投反对票,无论加薪是否成功,都能保持廉洁的形象,获得这1 000美元的影响力奖励。设3个立法者分别为A、B、C,A先投票,然后是B,最后是C,所有的投票结果都是公开的。
连续立法者投票的博弈树如图4-29所示。立法者C的行为最容易解释,因为当C必须决策时,A和B已经决策了,所以C不需要预测他们的策略。C可能面临4种情况,对应于树右边的4个顶点。在第一种情况下,A和B已经投票赞成加薪,C可以通过投票反对加薪来额外获得影响力奖励。同样地,如果A和B都拒绝了加薪的想法,投票结果已经注定了,所以C别无选择,只能投反对票以获得影响力奖励。如果A和B一个人赞成而另一个人反对加薪,那么C的投票能起决定性作用。考虑加薪失败获得影响力奖励和加薪成功放弃影响力奖励,很明显后者收益更大,所以C会投票支持加薪。
图4-29 连续立法者投票的博弈树
每个人(包括B)都能做这个分析。当B要做出决策时,他可以在一定程度上预测到C的反应。如果A投票赞成加薪,B知道即使自己投票反对加薪,C也会投票赞成(此时C收益最大),在这种情况下,加薪决定是一定会通过的,B显然会投票反对加薪来避免失去影响力奖励。此外,如果A投票反对加薪,那么B就必须投票支持加薪,放弃影响力奖励来换取加薪的更大收益。
通过决策树可以看出,对于A而言,最好的选择是投票反对加薪,由上述策略分析,此时B会投票赞成,C也会投票赞成。在最终结果中,A的收益是最大的,这就是先进行决策所带来的优势。
